Kezdőlap


Feladat:	3420. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/október, 440 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: 3420. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a fonál párhuzamos a vonalzó hossztengelyével, akkor $F_{0} = m g μ$ erővel lehet megmozdítani, hiszen az egyes darabkáira ható súrlódási erők párhuzamosak egymással, tehát a teljes súrlódási erő egyszerűen a vonalzót az asztalhoz szorító $m g$ erő $μ$ -szöröse.

Bonyolultabb a helyzet akkor, amikor a fonal merőleges az

l

hosszúságú vonalzó hossztengelyére, mert ilyenkor a vonalzó egyes részei ellentétes irányban mozdulnak el, tehát a súrlódási erők összegzése nem nyilvánvaló.
A rúdra merőleges

F

erő hatására a rúd egy, a húzott végétől bizonyos (egyelőre ismeretlen)

x

távolságra eső

O

pontja körül elfordul. Mivel a vonalzó tömegközéppontjának gyorsulása is és a vonalzó szöggyorsulása is nagyon kicsiny (határesetben nulla), az éppen csak megmozduló vonalzónál a rá ható erők összege, illetve a forgatónyomatékok összege is nulla kell legyen. (Könnyen belátható, hogy

O

nem eshet a vonalzón kívülre. Ilyen esetben ugyanis a súrlódási erők eredőjének lenne a fonálra merőleges összetevője is, ez pedig ‐ egyéb ilyen irányú erő híján ‐ lehetetlen.)
Az

x

hosszúságú vonalzódarabra a vonalzó egyenletes felfekvése miatt

\begin{matrix} S_{1} = μ m g \frac{x}{l} = F_{0} \frac{x}{l}, \end{matrix}

a maradék

l - x

hosszú darabra pedig

\begin{matrix} S_{2} = μ m g \frac{l - x}{l} = F_{0} \frac{l - x}{l} \end{matrix}

nagyságú súrlódási erő hat. Ez a két erő egymással ellentétes irányú, támadáspontjuk pedig a szimmetria miatt a megfelelő vonalzódarabok közepére esik.
Az erők egyensúlyának feltétele:

\begin{matrix} F = S_{1} - S_{2}, azaz F = F_{0} \frac{2 x - l}{l}, \end{matrix}

a forgatónyomatékok

O

pontra vonatkoztatott egyensúlya pedig

\begin{matrix} F \cdot x = S_{1} \cdot \frac{x}{2} + S_{2} \cdot \frac{l - x}{2}, vagyis F \cdot x = F_{0} \frac{2 x^{2} - 2 x l + l^{2}}{2 l} . \end{matrix}

Ebből a két egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{l}{\sqrt[]{2}} \approx 0, 71 l és F = F_{0} (\sqrt[]{2} - 1) \approx 0, 41 F_{0} \end{matrix}

adódik.

Több megoldás alapján

Megjegyzés. Ha a vonalzó ‐ akár az asztal, akár pedig maga a vonalzó görbesége miatt ‐ nem egyenletesen nyomja az asztalt, akkor az eredmény lényegesen megváltozik. Ha például a vonalzó középen ,,púpos'' (és emiatt csak a végeinél támaszkodik az asztalra), akkor a kérdéses erő

F = F_{0} / 2

; ha pedig az ellenkező irányban görbült a vonalzó (tehát csak a közepénél ér az asztalhoz), akkor gyakorlatilag tetszőlegesen kicsiny erővel megmozdítható.