A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a rudak eredeti hosszát -vel, a tömegüket -vel, lineáris hőtágulási együtthatójukat pedig -vel (ahol a bal oldali, pedig a jobb oldali rudra utal). A hőmérséklet nagyságú növekedtével az egyes fémrudak hossza értékkel növekszik, a teljes hosszváltozás tehát | | (1) | Ha ismernénk a rúd valamelyik pontjának, például az tömegközéppontnak az elmozdulását, akkor már bármely más pontjának, így a ragasztás helyének elmozdulását is meg tudnánk határozni. A rudakra kezdetben csak függőleges erők hatnak, s ha a fonalak hossza sokkal nagyobb, mint a rudaké, akkor a kicsit kitágult rudakra ható erők is majdnem pontosan függőleges irányúak. Ebből ‐ naívan ‐ arra következtethetünk, hogy a rendszer tömegközéppontja nem mozdul el. Ez azonban ‐ mint az alábbiakból kiderül ‐ hibás következtetés! A fonalakat (hacsak a tömegközéppont nem esik éppen véletlenül a felezőpontra) különböző nagyságú erők feszítik. Nagyságuk az 1. ábrán látható és pontokra felírt forgatónyomatékok egyensúlyából határozhatjuk meg: | | (2) | Az új (a rudak felmelegítése után kialakuló) egyensúlyi helyzetben a fonalak alsó vége valamekkora és távolsággal eltér az eredeti helyzettől (2. ábra), emiatt a fonalakban ható erőknek lesz vízszintes összetevője is. Mivel más vízszintes irányú erő nem hat, fenn kell álljon, hogy (Felhasználtuk, hogy a fonalak iránya csak kicsit tér el a függőlegestől, emiatt a fonálerők nagyságának változását, valamint a rúdnak a vízszintestől való eltérését nem kell figyelembe vennünk.) A (3) egyenlet alakba is írható, s ez jól mutatja, hogy az összeragasztott rúd végeinek elmozdulása nagyságától függetlenül ‐ tehát tetszőlegesen hosszú fonalak esetén is ‐ mindig ugyanolyan arányban osztozik a teljes hossznövekményen. A (2), (4) és (5) egyenletekből kiszámíthatjuk a rúd bal oldali végpontjának elmozdulását: | | (6) | majd ebből és a bal oldali rúd hosszának megváltozásából az pont elmozdulását (a jobb fele mutató irányt véve pozitívnak): | | Ennek a kifejezésnek az előjele dönti el, hogy merrefelé mozdul el a két rúd érintkezési helye. Ha | | akkor az pont jobbra mozdul el, ellenkező esetben pedig balra.
Buti András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozatának felhasználásával |
Megjegyzés. Bár a feladat nem kérdezte, érdemes kiszámítani a tömegközéppont elmozdulását is. Kezdetben a tömegközéppont a bal oldali rúdvégtől | | távol van, ennek a mennyiségnek a megváltozása a hőtágulás hatására: | | A tömegközéppont elmozdulása jobb felé: | | Látható, hogy a tömegközéppont mindig a kisebb hőtágulási együtthatójú fémrúd irányába tolódik el, ha viszont a két anyag hőtágulás szempontjából egyformán viselkedik, akkor s tömegközéppont ‐ a méret- és tömegarányoktól függetlenül ‐ az eredeti helyén marad.
|