| Feladat: | B.3607 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: könnyű |
| Megoldó(k): | Farkas Balázs | ||
| Füzet: | 2003/december, 549 - 550. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, Szögfelező egyenes, Feladat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2003/január: B.3607 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a négyszög csúcsait az ábrán látható módon , , , -vel. Feltehetjük, hogy az és félegyenesek -ben, az és félegyenesek pedig -ben metszik egymást. Az szög szögfelezője messe a és oldalakat rendre a , pontokban, az szög szögfelezője pedig messe a és oldalakat rendre a , pontokban, az szög szögfelezőjét pedig -ben.  Először azt mutatjuk meg, hogy ha húrnégyszög, akkor az és egyenesek merőlegesek. A feltételből kapjuk, hogy . Továbbá, mivel szögfelező, azért . Vagyis a és a háromszögekben két-két szögpár megegyezik, ezért a harmadik pár is egyenlő: . Másrészt , mert csúcsszögek, tehát . Ez pedig azt jelenti, hogy a háromszög egyenlő szárú, szárszögének felezője merőleges az alapjára, azaz a feladatban szereplő két szögfelező merőleges egymásra. Megfordítva, ha a két szögfelező merőleges egymásra, akkor az és háromszögek egybevágóak, mert közös az oldaluk és megegyeznek az azon lévő szögeik, hiszen -nél derékszög van, pedig felezi a szöget. Ebből következően . Ekkor a és az háromszögekben két-két szögpár megegyezik, ezért a harmadik pár is egyenlő: , ami azt jelenti, hogy az négyszög húrnégyszög. A szögfelezők merőlegességéből nemcsak az következik, hogy a háromszög egyenlő szárú, ugyanúgy belátható, hogy az háromszög is egyenlő szárú. Ezekben a háromszögekben , illetve szimmetriatengelyek, ezért felezik az alapokat: és . Mivel merőleges -ra, a négyszög átlói merőlegesen felezik egymást, tehát a négyszög valóban rombusz.
|