Feladat:	C.711	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szeberényi Ágnes
Füzet:	2003/december, 533 - 534. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: C.711

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Írjuk fel a sorozat első öt elemének szorzatát, felhasználva az elemek közt fennálló összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}=a_2\cdot a_4=\mathrm{2,}}\end{array}$ az $a_4=\frac{a_3}{a_2}$-t beírva, kapjuk, hogy $a_2\frac{a_3}{a_2}=a_3=2$. A következő 5 elem szorzatából hasonlóképpen kapjuk, hogy $a_8=2$. Ezután az első tíz elem szorzatát írjuk fel a következő alakban: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\cdot \frac{a_5}{a_4}\cdot \frac{a_6}{a_5}\cdot \frac{a_7}{a_6}\cdot \frac{a_8}{a_7}\cdot \frac{a_9}{a_8}=4.}\end{array}$ Elvégezve az egyszerűsítéseket, felhasználva a feltételt, és beírva az $a_3$ és $a_8$ előbb kapott értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_2\cdot a_9=a_3\cdot a_1\cdot a_8\cdot a_{10}=4\cdot a_1\cdot a_{10}=4.}\end{array}$ Innen $a_1=\frac{1}{a_{10}}$, $a_2=a_1\cdot a_3=\frac{1}{a_{10}}\cdot 2=\frac{2}{a_{10}}$, $a_4=\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}{\frac{2}{a_{10}}}=a_{10}$, $a_5=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_{10}}{2}$, $a_6=\frac{a_5}{a_4}=\frac{a_{10}}{2a_{10}}=\frac{1}{2}$, $a_7=a_6\cdot a_8=\frac{1}{2}\cdot 2=1$, $a_9=2$, $a_{10}=1$, és végül $a_5=\frac{1}{2}$, $a_4=1$, $a_2=2$ és $a_1=1$. A sorozat tagjai sorrendben: 1, 2, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 2, 1. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a kapott számsorozat eleget tesz a feltételnek. () Szeberényi Ágnes (Budapest, Árpád Gimn., 10. évf.)   II. megoldás. Számaink pozitívak, így tekintsük a kettes alapú logaritmusukat, legyen $b_i=\text{log}{}_2{a}_i$. A feltétel rájuk nézve azt jelenti, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle b_i=b_{i-1}+b_{i+1}i=\mathrm{2,3,}\text{...}\mathrm{,9,}}\end{array}$ (1) illetve $b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10}=1.$ Adjuk össze (1)-et $i$-re és $\left(i+1\right)$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle b_i+b_{i+1}=b_{i-1}+b_{i+1}+b_i+b_{i+2}\mathrm{,}\text{ahonnan}0=b_{i-1}+b_{i+2}\mathrm{,}}\end{array}$ a $b_i$ sorozat ,,harmadszomszédos'' elemei tehát egymás ellentettjei. Ha $b_1=x$, $b_2=y$ és $b_3=z$, akkor a sorozat elemei rendre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></msub></mrow></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mi>x</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mi>y</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mi>z</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mi>x</mi></math>}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Így $b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=z=1$ és $b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10}=y=1$, tehát $y=z=1$. Mivel pedig (1) szerint $y=x+z$, innen $x=0$. A $b_i$ sorozat tehát 0, 1, 1, 0, $-1$, $-1$, 0, 1, 1, 0, az $a_i$ sorozat ennek megfelelően $a_i=2^{b_i}$ alapján 1, 2, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 2, 1. Az eddigiekből annyi következik, hogy ha van a feladatnak megoldása, akkor az csak a talált sorozat lehet. Ha viszont az $\left(x;y;z\right)$ számhármasra teljesül a feltétel, azaz $x-y+z=0$, akkor ezt a számhármast a $b_i$ sorozatban ,,eggyel eltolva'' az $\left(y;z;-x\right)$ számhármast kapjuk. Erre kiszámolva az $y-z+\left(-x\right)$ összeget, kapjuk, hogy az $y-z-x=-\left(x-y+z\right)=0$ ugyancsak. Ha tehát a második elem az első és a harmadik összege, akkor a kapott $b_i$ sorozat képzési szabálya szerint minden elem az őt közrefogó kettő összege, sorozatunk tehát a feladat ‐ egyetlen ‐ megoldása.   Megjegyzés. Ez a gondolatmenet a szorzatok és hányadosok nyelvén lényegesen áttekinthetetlenebb volna, de a logaritmusokra való áttérés nem csak tipográfiailag egyszerűsíti a megoldást. A feltételt az (1) alakba írva és átrendezve a $b_{i+1}=b_i-b_{i-1}$ úgynevezett lineáris rekurziót kapjuk és ilyen tulajdonságú sorozatokra jólismert eredmények vannak.