Kezdőlap


Feladat:	C.708	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antal László
Füzet:	2003/december, 532 - 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trigonometriai azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: C.708

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Két esetet különböztetünk meg.
1. eset: $α = β$ és $γ = 180^{\circ} - 2 α$ . Ekkor az egyenlet:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 sin^{2} α & = & sin γ = sin (180^{\circ} - 2 α) = sin 2 α, azaz \\ 2 sin^{2} α & = & 2 sin α cos α . \end{matrix} \end{matrix}

Egyszerűsítve az egyenletet

2 sin α \neq 0

-val kapjuk, hogy

sin α = cos α

. Mivel

0 < α < 180^{\circ}

, ez csak akkor áll fenn, ha

α = β = 45^{\circ}

és

γ = 90^{\circ}

. Ekkor a háromszög derékszögű és egyenlő szárú.
2. eset:

α = γ

és

β = 180^{\circ} - 2 α

. Ekkor az egyenlet:

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β = sin α . \end{matrix}

β

értéket behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} sin^{2} α + {(sin 2 α)}^{2} & = & sin α, \\ sin^{2} α + 4 sin^{2} α cos^{2} α & = & sin α . \end{matrix} \end{matrix}

Egyszerűsítve

sin α \neq 0

-val, a

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

helyettesítés után:

\begin{matrix} 4 sin^{3} α - 4 sin α - sin α + 1 = 0. \end{matrix}

Innen

4 sin α \cdot (sin^{2} α - 1) - (sin α - 1) = 0.

Alakítsunk szorzattá:

\begin{matrix} (sin α - 1) \cdot [4 sin α \cdot (sin α + 1) - 1] = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ha

sin α - 1 = 0

, akkor

sin α = 1

α = 90^{\circ}

. Mivel

α = γ

, ez nem lehetséges. Ha

4 sin α \cdot (sin α + 1) - 1 = 0

, akkor a következő másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 4 sin^{2} α + 4 sin α - 1 = 0. \end{matrix}

Innen

sin α_{1} = \frac{- 1 - \sqrt[]{2}}{2} < - 1

, nem lehet megoldás;

sin α_{2} = \frac{- 1 + \sqrt[]{2}}{2} \approx 0, 2071

α_{2} \approx 11, 95^{\circ}

. A háromszög szögei a második esetben

α = γ \approx 11, 95^{\circ}

β \approx 156, 1^{\circ}

() Antal László (Eger, Szilágy E. Gimn. és Koll., 11. évf.)