Kezdőlap


Feladat:	B.3610	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hubai Tamás
Füzet:	2003/november, 487 - 489. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3610

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladatban adott szögfüggvényeket a $cos α = sin (90^{\circ} - α)$ azonosság segítségével átírjuk úgy, hogy szinusz helyett koszinusz szerepeljen bennük. Eszerint a $cos 65^{\circ} \cdot cos 55^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} = cos 70^{\circ} \cdot cos 50^{\circ} \cdot cos 15^{\circ} \cdot cos 10^{\circ}$ egyenlőséget kell bizonyítanunk. A megoldás során felhasználunk egy, a függvénytáblázatban is megtalálható összefüggést:

\begin{matrix} cos α \cdot cos β = \frac{1}{2} (cos (α + β) + cos (α - β)) . \end{matrix}

Ezt a

8 cos α cos β cos γ cos δ

kifejezésre felírva egy 8-tagú összeget kapunk:

\begin{matrix} \begin{matrix} 8 cos α cos β cos γ cos δ = 2 [cos (α + β) + cos (α - β)] [cos (γ + δ) + cos (γ - δ)] = \\ = 2 [cos (α + β) cos (γ + δ) + cos (α + β) cos (γ - δ) + \\ + cos (α - β) cos (γ + δ) + cos (α - β) cos (γ - δ)] = \\ = cos (α + β + γ + δ) + cos (α + β - γ - δ) + cos (α + β + γ - δ) + \\ + cos (α + β - γ + δ) + cos (α - β + γ + δ) + cos (α - β - γ - δ) + \\ + cos (α - β + γ - δ) + cos (α - β - γ + δ) . \end{matrix} \end{matrix}

Írjuk át a bal oldal 8-szorosát ennek megfelelően:

\begin{matrix} \begin{matrix} 8 cos 65^{\circ} \cdot cos 55^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} = cos 155^{\circ} + cos 85^{\circ} + \\ + cos 145^{\circ} + cos 95^{\circ} + cos 45^{\circ} + cos (- 25^{\circ}) + cos 35^{\circ} + cos (- 15^{\circ}) . \end{matrix} \end{matrix}

Írjuk most át a jobb oldal 8-szorosát:

\begin{matrix} \begin{matrix} 8 cos 70^{\circ} \cdot cos 50^{\circ} \cdot cos 15^{\circ} \cdot cos 10^{\circ} = cos 145^{\circ} + cos 95^{\circ} + \\ + cos 125^{\circ} + cos 115^{\circ} + cos 45^{\circ} + cos (- 5^{\circ}) + cos 25^{\circ} + cos 15^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Felhasználjuk, hogy

cos ξ = cos (- ξ)

. Innen

\begin{matrix} \begin{matrix} cos 145^{\circ} + cos 95^{\circ} + cos 45^{\circ} + cos (- 25^{\circ}) + cos (- 15^{\circ}) = \\ = cos 145^{\circ} + cos 95^{\circ} + cos 45^{\circ} + cos 25^{\circ} + cos 15^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezután a megmaradó

cos 155^{\circ} + cos 85^{\circ} + cos 35^{\circ} = cos 125^{\circ} + cos 115^{\circ} + cos (- 5^{\circ})

egyenlőséget kell bizonyítanunk. A

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}

összefüggést a bal oldalon

85^{\circ}

-ra és

35^{\circ}

-ra, míg a jobb oldalon

125^{\circ}

-ra és

- 5^{\circ}

-ra alkalmazva

\begin{matrix} cos 85^{\circ} + cos 35^{\circ} = 2 \cdot cos 60^{\circ} \cdot cos 25^{\circ} = cos 25^{\circ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos 125^{\circ} + cos (- 5^{\circ}) = 2 \cdot cos 60^{\circ} \cdot cos 65^{\circ} = cos 65^{\circ} . \end{matrix}

Így a bizonyítandó állítás a

cos 155^{\circ} + cos 25^{\circ} = cos 115^{\circ} + cos 65^{\circ}

, ami az előzőekhez hasonlóan

2 cos 90^{\circ} \cdot cos 65^{\circ}

és

2 cos 90^{\circ} \cdot cos 25^{\circ}

egyenlőségét jelenti.

cos 90^{\circ} = 0

, így az egyenlőség teljesül.

() Hubai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozatának ötletéből

II. megoldás. A bizonyítandó állítás egy azonosságból következik:

\begin{matrix} sin 3 α = 4 sin α \cdot sin (60^{\circ} + α) \cdot sin (60^{\circ} - α) . \end{matrix}

A jobb oldalon

sin (60^{\circ} + α) \cdot sin (60^{\circ} - α) = sin^{2} 60^{\circ} \cdot cos^{2} α - cos^{2} 60^{\circ} \cdot sin^{2} α = \frac{3}{4} cos^{2} α - \frac{1}{4} sin^{2} α

. Maga a jobb oldal így

3 sin α \cdot cos^{2} α - sin^{3} α

, ami valóban

sin 3 α

. Ez azt jelenti, hogy ha

sin 3 α \neq 0

, akkor

\begin{matrix} \frac{sin α \cdot sin (60^{\circ} + α) \cdot sin (60^{\circ} - α)}{sin 3 α} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

(1)

A bizonyítandó egyenlőséget átrendezve

\begin{matrix} \frac{sin 25^{\circ} \cdot sin 85^{\circ} \cdot sin 35^{\circ}}{sin 75^{\circ}} = \frac{sin 20^{\circ} \cdot sin 80^{\circ} \cdot sin 40^{\circ}}{sin 60^{\circ}} . \end{matrix}

(2)

Mindkét oldalon az (1) azonosság bal oldala áll, a bal oldalon

α = 25^{\circ}

, a jobb oldalon pedig

α = 20^{\circ}

helyettesítése után. A (2) egyenlőség tehát valóban teljesül, mindkét tört értéke

\frac{1}{4}