Kezdőlap


Feladat:	B.3603	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Emőke , Filus Tamás
Füzet:	2003/november, 485 - 486. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Körülírt kör, Háromszögek geometriája, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3603

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C$ háromszögben a szokásos jelölések mellett legyen a keresett pont a $P$ , és a háromszög $a$ , $b$ és $c$ oldalegyeneseitől vett távolsága rendre $x$ , 2 $x$ , 3 $x$ . Nem jelent megszorítást, ha csak erre az esetre adjuk meg a $P$ pont szerkesztésének lépéseit. Nyilvánvalóan tetszőleges sorrend megengedett lehet, így egy háromszögben hat megfelelő pontot kaphatunk.

1. ábra

x

B C P

háromszögben az

a

-hoz, a 2

x

C A P

háromszögben az

b

-hez és a

3 x

A B P

háromszögben a

c

-hez tartozó magasság (1. ábra). Az

A B C

háromszög területe a

B C P

, a

C A P

és az

A B P

háromszög területének az összege, így:

\begin{matrix} \frac{a m_{a}}{2} = \frac{a x}{2} + \frac{2 b x}{2} + \frac{3 c x}{2} \end{matrix}

(az

A B C

háromszögben az

a

-hoz tartozó magasságot szintén a szokásoknak megfelelően

m_{a}

-val jelöltük), amiből kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{a + 2 b + 3 c} = \frac{x}{m_{a}} . \end{matrix}

Ebből az összefüggésből

x

, mint a negyedik arányos megszerkeszthető (2. ábra).

2. ábra

Ezek után két párhuzamost szerkesztünk: az

a

oldallal, attól

x

távolságra, az

A

csúcs által meghatározott félsíkban, illetve a

b

oldallal, attól

2 x

távolságra, a

B

csúcs által meghatározott félsíkban. E két egyenes metszéspontja lesz a keresett

P

pont. (Az előzőek alapján nyilvánvaló, hogy ugyanezen a ponton haladna keresztül az az egyenes is, amelyet a

c

oldallal párhuzamosan szerkesztenénk, tőle

3 x

távolságra, a

C

csúcs által meghatározott félsíkban, de ez az egyenes már nem szükséges a

P

megszerkesztéséhez. Az előzőekből az is következik, hogy

P

a háromszög belsejében van.) Így megadtuk a

P

pont szerkesztésének lépéseit.

() Bartha Emőke (Szentendrei Református Gimnázium, 10. évf.) és
Filus Tamás (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 10. évf.)
dolgozata alapján