Kezdőlap


Feladat:	B.3583	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2003/november, 482 - 483. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Hasonlósági transzformációk, Háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: B.3583

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a háromszög szögei $α$ , $β$ , $γ$ , a beírt kör középpontja $K$ . Feltehetjük, hogy a $B C K$ háromszög hasonló az $A B C$ háromszöghöz. Mivel $K$ a szögfelezők metszéspontja, azért a $B C K$ háromszög szögei $\frac{β}{2}$ , $\frac{γ}{2}$ és $π - (\frac{β}{2} + \frac{γ}{2}) = \frac{π}{2} + \frac{α}{2}$ .

Ezek a szögek valamilyen sorrendben megegyeznek az

A B C

háromszög szögeivel. Az nem lehet, hogy

\frac{π}{2} + \frac{α}{2} = α

, mert abból

α = π

következne. Szimmetria okokból feltehetjük tehát, hogy

\frac{π}{2} + \frac{α}{2} = γ

. Mivel

β = \frac{β}{2}

nem lehet, azért

β = \frac{γ}{2}

és

α = \frac{β}{2}

kell hogy legyen, ahonnan

\begin{matrix} \frac{π}{2} + \frac{α}{2} = γ = 2 β = 4 α, \end{matrix}

ebből pedig

α = \frac{π}{7}

, s így

β = \frac{2 π}{7}

és

γ = \frac{4 π}{7}

adódik. Könnyen ellenőrizhető, hogy a

B C K

háromszög szögei is ugyanekkorák.
Az

A B C

háromszög szögei tehát:

\begin{matrix} \frac{π}{7}, \frac{2 π}{7} és \frac{4 π}{7} . \end{matrix}