Kezdőlap


Feladat:	B.3599	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sparing Dániel
Füzet:	2003/október, 419 - 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: B.3599

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a gömb sugara $r$ , a $C$ csonkakúp alapköreinek sugara $R_{1}$ és $R_{2}$ , alkotóinak hossza pedig $a$ . A csonkakúp magassága megegyezik a gömb sugarának kétszeresével, ezért térfogata

\begin{matrix} V = (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}) \cdot (2 r) \cdot \frac{π}{3} . \end{matrix}

Tekintsük a testeknek a csonkakúp tengelyére illeszkedő tetszőleges

S

síkkal való metszetét. A gömb és

S

metszete egy

r

sugarú kör, a csonkakúp és

S

metszete pedig egy, a kört érintő szimmetrikus trapéz (lásd az ábrát). Mivel a trapéz érintőnégyszög, azért szemközti oldalainak összhossza megegyezik, azaz

a + a = 2 R_{1} + 2 R_{2}

, tehát

a = R_{1} + R_{2}

. Ezt felhasználva a csonkakúp felszíne

\begin{matrix} A = R_{1}^{2} \cdot π + R_{2}^{2} \cdot π + a \cdot (R_{1} + R_{2}) \cdot π = 2 (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}) \cdot π . \end{matrix}

Tehát a csonkakúp térfogatának és felszínének aránya

\begin{matrix} \frac{A}{V} = \frac{(R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}) \cdot (2 r) \cdot \frac{π}{3}}{2 (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}) \cdot π} = \frac{r}{3}, \end{matrix}

ahol

r

a beírható gömb sugara.

Megjegyzés. Feladatunk eredménye következik az általánosított B. 3587. feladat eredményéből, azaz a csonkakúpra vonatkozó állítás abból, hogy miden síklapokkal határolt testre ugyanaz a keresett arány. Az állítás ilyen módon történő bizonyítása lapunk internetes oldalán olvasható.

II. megoldás. Az adott

r

sugarú gömböt a

C

csonkakúp egy

O

középpontú,

R

sugarú

K

körvonal mentén érinti, ahol

r > R

. Ennek a körvonalnak a síkja párhuzamos a

C

alapköreit tartalmazó

S_{1}

és

S_{2}

síkokkal. Válasszunk tetszőlegesen nagy

n

természetes számot, és rajzoljunk a

K

kör köré egy

n

oldalú szabályos sokszöget, amit

K'

-vel jelölünk. Legyen

K''

az a

K

-ba írt szabályos

n

-szög, amelyet

K

-ból

O

középpontú

λ = cos (\frac{π}{n})

arányú kicsinyítéssel kapunk. Húzzuk meg ezután

C

azon alkotóit, melyek tartalmazzák a

K'

sokszög csúcsait, és tekintsük azokat a síkokat, amelyek a csonkakúpot ezen alkotók mentén érintik. Ezek a síkok valamint az

S_{1}

és

S_{2}

síkok egy, az

r

sugarú gömb köré írt

C'

csonkagúlát zárnak közre. Ennek

V'

térfogata és

A'

felszíne között a B. 3587. feladat megoldása alapján fennáll a

\frac{V'}{A'} = \frac{r}{3}

összefüggés.
Legyen most

C''

az a csonkagúla, melyet

C'

-ből

O

középpontú

λ

arányú kicsinyítéssel nyerünk, ennek felülete tartalmazza a

K''

sokszöget. Nyilvánvaló tehát, hogy

C''

része egy, a

C

csonkakúpba írt csonkagúlának,

C'

pedig egy, a

C

köré írt csonkagúla. Ezért

V'' < V < V'

és

A'' < A < A'

, ahol

V''

és

A''

C''

csonkagúla térfogatát, illetve felszínét jelöli. Mivel

A'' = λ^{2} A'

és

V'' = λ^{3} V'

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} λ^{3} \frac{r}{3} = \frac{V''}{V'} \cdot \frac{V'}{A'} = \frac{V''}{A'} < \frac{V}{A} < \frac{V'}{A''} = \frac{A'}{A''} \cdot \frac{V'}{A'} = \frac{1}{λ^{2}} \cdot \frac{r}{3} . \end{matrix}

Minthogy elegendően nagy

n

esetén

λ

tetszőlegesen közel eshet az 1-hez,

\frac{V}{A}

értéke csakis

\frac{r}{3}

lehet.