Kezdőlap


Feladat:	B.3597	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Poronyi Balázs
Füzet:	2003/október, 417 - 419. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Trapézok, Hossz, kerület, Paralelogrammák, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: B.3597

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha az $A B C D$ négyszög paralelogramma, akkor a középvonala felezi a paralelogramma kerületét és területét is.
Tegyük fel, hogy az $A B C D$ trapéz nem paralelogramma, mégis létezik az alapjaival párhuzamos $E F$ szakasz, amely a trapéz kerületét és területét is felezi.
Húzzunk párhuzamost (az ábra szerint) $C$ -n keresztül $A D$ -vel, ez az $E F$ szakaszt $G$ -ben, az $A B$ szakaszt $H$ -ban metszi.

H B C

háromszög hasonló a

G F C

háromszöghöz. Legyen

E F = x

. A

H B C

háromszög magassága legyen

M

, a

G F C

háromszögé pedig

m

. A hasonlóság miatt

\begin{matrix} \frac{m}{M} = \frac{G F}{H B} = \frac{x - c}{a - c} . \end{matrix}

Feltevésünk szerint

E F

felezi a trapéz területét:

t_{E F C D} = \frac{1}{2} t_{A B C D}

, azaz

\begin{matrix} \frac{x + c}{2} m = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + c}{2} M, (x + c) \frac{m}{M} = \frac{a + c}{2} . \end{matrix}

A hasonlóságot felhasználva:

(x + c) \frac{x - c}{a - c} = \frac{a + c}{2}

, ezért

\begin{matrix} x^{2} - c^{2} = \frac{a^{2} - c^{2}}{2}, x^{2} = \frac{a^{2} - c^{2}}{2} + c^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}, x = \sqrt[]{\frac{a^{2} + c^{2}}{2}} . \end{matrix}

H B C

és

G F C

háromszög hasonlósága miatt

\frac{C F}{b} = \frac{D E}{d} = \frac{x - c}{a - c}

, ahonnan

\begin{matrix} C F = \frac{b (x - c)}{a - c} és D E = \frac{d (x - c)}{a - c} . \end{matrix}

Tegyük fel ezután, hogy az

E F

szakasz a trapéz kerületét is felezi:

\begin{matrix} \begin{matrix} A B + B F + E A = F C + C D + D E, \\ a + b - C F + d - D E = F C + c + D E, \\ a - c + b + d = 2 F C + 2 D E, \\ a - c + b + d = 2 \frac{b (x - c)}{a - c} + 2 \frac{d (x - c)}{a - c}, \\ a - c + b + d = \frac{2 (b + d) (x - c)}{a - c} = \frac{2 (b + d) (\sqrt[]{\frac{a^{2} + c^{2}}{2}} - c)}{a - c}, \\ {(a - c)}^{2} + (a - c) (b + d) = (b + d) (\sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2}} - 2 c), \\ {(a - c)}^{2} = (b + d) (\sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2}} - a - c) . \end{matrix} \end{matrix}

Fejezzük ki ebből

(b + d)

-t:

\begin{matrix} b + d = \frac{{(a - c)}^{2}}{\sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2}} - (a + c)} . \end{matrix}

A nevező gyöktelenítése után:

b + d = \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2}} + a + c

.
A fenti gondolatmenet lényegében megfordítható: ha a trapéz (nem paralelogramma) oldalaira teljesül a talált egyenlőség, akkor van olyan alapjaival párhuzamos egyenes, ami a kerületét és a területét is felezi, tehát a feladat kérdésére a válasz tagadó.
Ilyen trapéz valóban létezik: ha például

a = 2

c = 1

és

b = d

, akkor a fenti egyenlőségbe behelyettesítve

\begin{matrix} b = d = \frac{3 + \sqrt[]{10}}{2} > \frac{1}{2} = \frac{a - c}{2}, \end{matrix}

tehát ezek egy létező szimmetrikus trapéznak az adatai.

Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimn., 10. évf.)

II. megoldás. Legyenek a trapéz párhuzamos oldalai

a + c

és

a

, szárai

b

és

d

. Ahhoz, hogy ilyen trapéz létezzen, szükséges és elegendő, hogy a

b

c

d

hosszúságok kielégítsék a háromszög egyenlőtlenségeket.
Tekintsünk egy

e

egyenest, ami párhuzamos a trapéz alapjaival, és a hosszabb és a rövidebb alap közötti távolságot

x : (1 - x)

arányban osztja. Az

e

egyenes pontosan akkor felezi a trapéz kerületét, ha

2 a + b + c + d = 2 (a + c + b x + d x)

, azaz

(1 - 2 x) (b + d) = c

.
Annak a feltétele pedig, hogy az

e

egyenes felezze a trapéz területét is:

2 a + c = 2 x [2 a + (2 - x) c]

, hiszen az

e

egyenesből a trapéz egy

a + (1 - x) c

hosszúságú szakaszt metsz ki.
A feltételt a következő alakban is írhatjuk:

2 a (1 - 2 x) = (- 2 x^{2} + 4 x - 1) c

.
Látható, hogy mind

1 - 2 x

, mind

- 2 x^{2} + 4 x - 1

pozitív kell legyen, ehhez megfelelő például az

x = \frac{1}{3}

választás. Ebben az esetben feltételeink

b + d = 3 c

és

6 a = c

alakban írhatók fel.
Ha például

a = 1

c = 6

b = 8

és

d = 10

, akkor valóban létezik olyan trapéz, melynek alapjai 7 és 1, szárai 8 és 10 egység hosszúak, és az alapok távolságát

1 : 2

arányban osztó egyenes a trapéz kerületét és területét is két egyenlő részre osztja. Tehát a feladat kérdésére a válasz nemleges.