Kezdőlap


Feladat:	B.3587	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varjas Dániel
Füzet:	2003/október, 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Csonkagúlák, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: B.3587

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett arány az adott gömb sugarának harmada. Következő bizonyításunk nemcsak csonkagúlára, hanem valamennyi olyan síklapokkal határolt konvex testre érvényes, melynek minden lapja érinti az adott gömböt.

Legyen

K

egy ilyen test. Kössük össze a gömb középpontját

K

csúcsaival. Így

K

-t feldaraboltuk olyan kisebb gúlákra, melyek alaplapjai megegyeznek

K

lapjaival, csúcsuk pedig az adott gömb középpontja. Mivel a gömb

K

minden lapját érinti, azért mindegyik gúla magassága megegyezik az adott gömb

r

sugarával.
Ha

K

lapjainak területe

T_{1}, T_{2}, ..., T_{k}

, akkor

K

felszíne

\begin{matrix} A = T_{1} + T_{2} + ... + T_{k}, \end{matrix}

térfogata pedig megegyezik az egyes gúlák térfogatának összegével, azaz

\begin{matrix} V = \frac{T_{1} \cdot r}{3} + \frac{T_{2} \cdot r}{3} + ... + \frac{T_{k} \cdot r}{3} = \frac{(T_{1} + T_{2} + ... + T_{k}) \cdot r}{3} = \frac{A \cdot r}{3} . \end{matrix}

A térfogat és a felszín aránya tehát

\frac{V}{A} = \frac{r}{3}

, azaz az adott gömb sugarának harmada.