Kezdőlap


Feladat:	C.707	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Török Zoltán
Füzet:	2003/október, 411. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: C.707

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C$ háromszögben az $A C$ oldallal párhuzamos területfelező egyenes messe az $A B$ , illetve $B C$ oldalt rendre az $E$ és $F$ pontokban. Hasonlóképpen messe a $B C$ -vel párhuzamos területfelező egyenes az $A B$ oldalt $G$ -ben, az $A C$ -t $H$ -ban, a két egyenes metszéspontja $M$ . Végül az $M$ -en átmenő $A B$ -vel párhuzamos egyenes $B C$ -vel, illetve $A C$ -vel való metszéspontja legyen rendre $K$ és $L$ .

A párhuzamosság miatt az

A G H

háromszög hasonló az

A B C

háromszöghöz. A megfelelő oldalakra

A G : A B = \sqrt[]{\frac{1}{2}}

, mivel az

A G H

háromszög területe fele az

A B C

háromszög területének, és a hasonló idomok területei úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő oldalaik négyzete. Vagyis

A G = \frac{\sqrt[]{2}}{2} A B

, ezért

G B = \frac{2 - \sqrt[]{2}}{2} A B

, hasonlóan

A E = \frac{2 - \sqrt[]{2}}{2} A B

. Az

L M # A E

, valamint

M K # G B

miatt

L K = L M + M K = A E + G B = (2 - \sqrt[]{2}) A B

. Ebből következik, hogy az

L K C

háromszög és az

A B C

háromszög területének aránya:

{(2 - \sqrt[]{2})}^{2} = 6 - 4 \sqrt[]{2}

. Az

L K

egyenes az

A B C

háromszöget az

L K C

háromszögre és az

A B K L

trapézra bontja. Meg kell határoznunk az

A B K L

trapéz

T

területét:

\begin{matrix} T = T_{A B C ▵} - (6 - 4 \sqrt[]{2}) \cdot T_{A B C ▵} = (4 \sqrt[]{2} - 5) \cdot T_{A B C ▵} . \end{matrix}

A keresett arány:

\begin{matrix} \frac{T_{L K C ▵}}{T} = \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{4 \sqrt[]{2} - 5} = \frac{4 \sqrt[]{2} - 2}{7} \approx 0, 5224. \end{matrix}

() Török Zoltán (Gödöllő, Török I. Gimn., 11. évf.)