Kezdőlap


Feladat:	C.702	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rückert Péter
Füzet:	2003/október, 410 - 411. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Derékszögű háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: C.702

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ derékszögű háromszögben legyen $B A C ∢ = 60^{\circ}$ és válasszuk az $A B$ átfogót 2 egységnyinek. Könnyű észrevenni, hogy a háromszög egy egyenlő oldalú háromszögnek éppen a fele, s ezért $A C = 1$ és $B C = \sqrt[]{3}$ .

A két egyenlő,

r

sugarú kör

O_{1}

, illetve

O_{2}

középpontjának vetülete az átfogóra

E

, illetve

D

. Legyen

A E = x

B D = y

, ekkor

\begin{matrix} x + y + 2 r = 2. \end{matrix}

(1)

O_{1} A E

háromszögből:

x = \frac{r}{tg 30^{\circ}} = \frac{3 r}{\sqrt[]{3}}

. Az

O_{2} B D

háromszögből:

y = \frac{r}{tg 15^{\circ}}

\begin{matrix} tg 15^{\circ} = \frac{sin 30^{\circ}}{1 + cos 30^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}} = 2 - \sqrt[]{3}, ezért y = \frac{r}{2 - \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

A kapott értékeket (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} \frac{3 r}{\sqrt[]{3}} + \frac{r}{2 - \sqrt[]{3}} + 2 r = 2, azaz r (\frac{4 \sqrt[]{3} + 6}{\sqrt[]{3}}) = 2, innen r = 2 - \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A keresett arány:

\begin{matrix} \frac{C A}{r} = \frac{1}{2 - \sqrt[]{3}} = 2 + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Rückert Péter (Pécs, Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimn., 12. évf.)