Kezdőlap


Feladat:	C.699	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szőllősi Ferenc
Füzet:	2003/október, 408 - 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: C.699

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 5-ös lottó sorsolásakor 90 számból húznak ki ötöt, ez $(\binom{90}{5})$ -féleképpen lehetséges.
A számunkra kedvező esetek ‐ vagyis azok a húzások, amelyekben legalább egy olyan szám előfordul, amely az előző heti nyertes számok között szerepelt ‐ helyett számítsuk ki a kedvezőtlen esetek számát. Ez akkor következik be, amikor abból a 85 számból húznak ki 5 számot, amelyek az előző héten nem szerepeltek a kihúzott számok között; ez $(\binom{85}{5})$ -féleképpen lehetséges. Ha ezt kivonjuk az összes esetek számából, akkor megkapjuk a számunkra kedvező esetek számát. A keresett $P$ valószínűséget a kedvező esetek és az összes eset hányadosa adja, azaz

\begin{matrix} P = \frac{(\binom{90}{5}) - (\binom{85}{5})}{(\binom{90}{5})} = 1 - \frac{(\binom{85}{5})}{(\binom{90}{5})} = 1 - \frac{\frac{85!}{5! \cdot 80!}}{\frac{90!}{5! \cdot 85!}} = 1 - \frac{85! \cdot 85!}{80! \cdot 90!} . \end{matrix}

Egyszerűsítsük a törtet

85!

-sal, illetve

80!

-sal:

\begin{matrix} P = 1 - \frac{81 \cdot 82 \cdot 83 \cdot 84 \cdot 85}{86 \cdot 87 \cdot 88 \cdot 89 \cdot 90} . \end{matrix}

A számlálót és a nevezőt is bontsuk fel prímtényezőkre, majd végezzük el az egyszerűsítéseket:

\begin{matrix} P = 1 - \frac{2^{3} \cdot 3^{5} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 83}{2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 89} = 1 - \frac{3 644 613}{4 883 252} = \frac{1 238 639}{4 883 252} \approx 0, 253 65. \end{matrix}

Tehát annak valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik, kb. 0,25%.

() Szőllősi Ferenc (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 12. évf.)