Kezdőlap


Feladat:	B.3594	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/május, 289 - 290. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatósági feladatok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: B.3594

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismerünk olyan számokat, amelyekben egyes számjegyek ,,blokkokban'' szerepelnek és a négyzeteikben is vannak olyan számjegyek, amelyek szintén ,,blokkokban'' fordulnak elő. Ezek jobbára olyanok, amelyekben a 3-as, a 6-os vagy a 9-es szerepel. Az az előnye az ilyen számoknak, hogy egyszerűbben számítható ki a számjegyeik összege, mint más számoké. Ezek körében keresünk a feladat feltételeinek eleget tevő számot.
Ha egy szám négyzetében a számjegyek összege 2002, az csak úgy lehet, ha a szám nem osztható 3-mal. Ilyen pl. a $333 ... 3 a$ és a $999 ... 9 b$ , ahol $a$ és $b$ lehetséges értékei 1, 2, 4, 5, 7 és 8. Ezek közül csak az $a = 1$ , 2, 5, 8, illetve a $b = 2$ és 7 megfelelőek.
Az állítást bebizonyítjuk $a = 2$ -re és $b = 7$ -re.
Ha $a = 2$ , akkor ${\underset{︸}{33 ... 3}}_{k - 1}^{} 2 = \frac{10^{k} - 1}{3} - 1 = \frac{10^{k} - 4}{3}$ . Ennek négyzete

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{10^{2 k} - 8 \cdot 10^{k} + 16}{9} = \frac{10^{2 k} - 10 \cdot 10^{k} + 2 \cdot 10^{k} - 2 + 18}{9} = \\ = \frac{10^{2 k} - 10^{k + 1}}{9} + 2 \cdot \frac{10^{k} - 1}{9} + 2 = 10^{k + 1} \cdot \frac{10^{k - 1} - 1}{9} + 2 \cdot \frac{10^{k} - 1}{9} + 2. \end{matrix} \end{matrix}

Az első tag első

k - 1

jegye 1-es, a további

k + 1

pedig 0. A második tag

k

darab 2-esből áll. A három tag összege eszerint

k - 1

egyesből, utána egy 0-ból, majd

k - 1

darab 2-esből, végül egy 4-esből áll. A számjegyek összege

3 (k - 1) + 4

, ami

k = 667

választással éppen 2002.
Ha

b = 7

, akkor

{\underset{︸}{99 ... 9}}_{k - 1}^{} 7 = 10^{k} - 3

. Ennek négyzete

\begin{matrix} 10^{2 k} - 6 \cdot 10^{k} + 9 = (10^{k} - 6) \cdot 10^{k} + 9. \end{matrix}

10^{k} - 6

olyan szám, amelynek első

k - 1

jegye 9-es, utolsó jegye 4-es. Ennek

10^{k}

-szorosa nem változtatja a benne szereplő számjegyek összegét, ami

(k - 1) \cdot 9 + 4

; ehhez kell hozzáadni az egyesek helyén álló 9-est.

2002 = (k - 1) \cdot 9 + 13

akkor teljesül, ha

k = 222

Megjegyzés. Az

a = 4

(és hasonlóan a többi ,,rossz'' eset) azért nem megfelelő, mert a

{\underset{︸}{33 ... 3}}_{k}^{} 4

szám négyzetében

k

darab 1-es, illetve

(k - 1)

5-ös, valamint egy 6-os szerepel, amelyek összege

k \cdot 6 + 1

, tehát páratlan. A

b

értékek esetében az a gond, hogy a négyzetszám 9-cel való osztási maradéka 4 kell legyen, így az 1, a 4, az 5 és a 8 eleve kiesnek, ugyanis az ezekkel a számjegyekkel a képzett szám négyzete 9-cel osztva rendre 1, 7, 7, illetve 1 maradékot ad.