Kezdőlap


Feladat:	B.3592	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/május, 287 - 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: B.3592

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A Mikulás által elérhető sebességet sebesség‐idő grafikonon ábrázoltuk; a szán a 0 időpontban 0, az $M = 16$ időpontban $m$ sebességgel haladhat, a 24. órában elérhető sebesség ismét 0. Ha a szán az $S$ időpontban ( $16 - x$ órakor) indul és ‐ kihasználva a maximális 8 óra utazási időt ‐ a $T$ időpontban ( $24 - x$ órakor) érkezik meg, akkor az általa megtett út éppen az $A S T B C$ ötszög területe, ami az $A S M C$ és a $C M T B$ (esetleg elfajuló) trapézok területének az összege. A párhuzamos szelők tétele szerint

\begin{matrix} A S : C M = (16 - x) : 16, \end{matrix}

így

\begin{matrix} A S = m (1 - \frac{x}{16}) . \end{matrix}

Hasonlóan

B T : C M = x : 8

, így

\begin{matrix} B T = \frac{m x}{8} . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} t_{A S M C} + t_{C M T B} & = & \frac{x}{2} m (2 - \frac{x}{16}) + \frac{8 - x}{2} m (1 + \frac{x}{8}) = \\ = & \frac{3 m}{32} (- {(x - \frac{16}{3})}^{2} + \frac{256}{9}) + 4 m \end{matrix} \end{matrix}

akkor a legnagyobb, ha

x = \frac{16}{3}

; tehát Mikulás 10 óra 40 perckor indul el.