Kezdőlap


Feladat:	B.3589	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Simon Balázs
Füzet:	2003/május, 284 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Binomiális tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: B.3589

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Elég megmutatnunk, hogy a $2^{n} + n$ alakú számok között (ahol $n$ páratlan szám) végtelen sok olyan van, amely 3-mal osztható (mivel ezek között legfeljebb egy lehet, ami nem összetett szám: a 3). Páratlan $n$ esetén $2^{n}$ a 3-mal osztva 2 maradékot ad, hiszen ez $n = 1$ esetén nyilván teljesül, ha pedig $n$ értékét 2-vel növeljük, akkor $2^{n}$ értéke a 4-szeresére változik, ami nem változtatja meg a 3-mal való osztás maradékát. Az összeadás másik tagjában szereplő $n$ pedig periodikusan ismétlődve ad egymás után 1-et, 0-t, 2-t, 1-et, 0-t, 2-t, $...$ maradékul. Végtelen sokszor fordul tehát elő az 1-es maradék. Ezekben az esetekben az összeg osztható 3-mal. Ezzel állításunkat igazoltuk. Mivel minden harmadik páratlan számra osztható 3-mal az összeg, és legelőször akkor, ha $n = 1$ , ezeket a számokat felírhatjuk $6 k + 1$ alakban is, ahol $k$ tetszőleges természetes szám. Mivel csak $k = 0$ esetén adódik a prím 3, $k > 0$ esetén 3-nál nagyobb 3-mal osztható számokat kapunk.

II. megoldás. A binomiális tétel segítségével mutatjuk meg, hogy az

n = 6 k + 1

alakú számok esetén 3 osztója a

2^{n} + n

összegnek. Ekkor ugyanis

2^{n}

-nek a 3-as maradéka 2, mivel

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{6 k + 1} = {(3 - 1)}^{6 k + 1} = \\ = {\underset{︸}{(\binom{6 k + 1}{0}) \cdot 3^{6 k + 1} - (\binom{6 k + 1}{1}) \cdot 3^{6 k} + ... + (\binom{6 k + 1}{6 k}) \cdot 3}}_{osztható 3-mal (tagonként is)}^{} - (\binom{6 k + 1}{6 k + 1}) = 3 A - 1, \end{matrix} \end{matrix}

ahol

A

pozitív egész. Így

2^{6 k + 1} + 6 k + 1 = 3 A - 1 + 6 k + 1 = 3 \cdot (A + 2 k)

. Tehát ha

n = 6 k + 1

, akkor valóban

3 ∣ 2^{n} + n

, ilyen alakú

n

pedig végtelen sok van és mindegyik páratlan. Továbbá ha

k > 0

, akkor

2^{n} + n > 3

, így valamennyi pozitív egész

k

esetén összetett számot kapunk.

() Simon Balázs (Győr, Révai Miklós Gimn., 12. évf.) megoldása alapján