Kezdőlap


Feladat:	B.3576	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: B.3576

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $n$ hosszúságú, egyetlen számjegyet használó sorozatok száma 3, a pontosan kétféle számjegyet tartalmazóké pedig $(\binom{3}{2}) (2^{n} - 2)$ ; így

\begin{matrix} p_{n} = \frac{3 + 3 (2^{n} - 2)}{3^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{3^{n - 1}} \end{matrix}

annak a valószínűsége, hogy egy

n

hosszúságú sorozatban valamelyik számjegy nem fordul elő. A

\begin{matrix} p_{n} - p_{n + 1} = \frac{2^{n} - 1}{3^{n - 1}} - \frac{2^{n + 1} - 1}{3^{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n} - 3 - 2^{n + 1} + 1}{3^{n}} = \frac{2^{n} - 2}{3^{n}} \geq 0 \end{matrix}

összefüggés szerint a

p_{n}

valószínűségek sorozata monoton fogyó. Mivel

\begin{matrix} p_{4} = \frac{5}{9} > \frac{39}{100} > \frac{31}{81} = p_{5}, \end{matrix}

a feladat követelménye a legalább 5 hosszúságú sorozatokra teljesül.