Kezdőlap


Feladat:	B.3526	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fejes Lívia
Füzet:	2003/május, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: B.3526

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Hasonló téglalapokban a $H A F$ szög egyenlő. Rögzítsük a $B C$ oldalt és változtassuk az $A B$ oldalt, így a sík minden téglalapjához találunk hasonlót e téglalapok között. Legyen a $B C$ szakasz hossza 2, az $A B$ szakaszé $3 x$ . Ekkor a $β = F A B$ szög tangense: $tg β = \frac{1}{3 x}$ , és az $α + β = H A B$ szög tangense:

\begin{matrix} tg (α + β) = \frac{2}{2 x} = \frac{1}{x} . \end{matrix}

Felhasználva a

tg α = tg ((α + β) - β)

-ra vonatkozó addíciós képletet:

\begin{matrix} tg ((α + β) - β) = \frac{tg (α + β) - tg β}{1 + tg (α + β) tg β} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3 x}}{1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}} = \frac{2 x}{3 x^{2} + 1} = \frac{2}{3 x + \frac{1}{x}} . \end{matrix}

A kifejezés nevezőjében ,,majdnem'' egy szám és a reciprokának az összege található.

\sqrt[]{3}

-mal osztva a számlálót és a nevezőt a következő adódik:

\begin{matrix} \frac{\frac{2}{\sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{3} x + \frac{1}{\sqrt[]{3} x}} . \end{matrix}

A tört nevezője itt már egy pozitív számnak és a reciprokának az összege, ezért ennek az értékkészlete a

[2, \infty)

intervallum. Így a tört értéke, tehát a

H A F

szög tangensének értéke a

(0; \frac{1}{\sqrt[]{3}}]

intervallum bármelyik eleme lehet. Mivel hegyesszögekre a tangens függvény monoton növekedő, a

H A F

szög 0 és

\frac{π}{6}

között bármely értéket fölvehet. Maximális értéke

\frac{π}{6}

() Fejes Lívia (Fonyód, Mátyás Király Gimnázium, 11. o.t.)

II. megoldás. Rögzítsük a

D

és

C

pontokat, és jelölje

D'

és

H'

D

és

H

tükörképét

C

-re. Mivel

D'

A F

egyenesen van, azért a

H A D'

szög egyenlő a

H A F

szöggel. Képzeljük el, hogy a

H A F

szög

γ

nagysága adott, és vizsgáljuk az

A

pont helyzetét. Az

A

pont egyrészt a

D

-ben

D C

-re emelt merőlegesen helyezkedik el, másrészt egy olyan

γ

szögű látóköríven, melynek két végpontja éppen

H

és

D'

, a kör középpontja pedig a

C D

egyenesre

H'

-ben emelt merőlegesre esik. A kör sugara ezért legalább

H D' = D H'

; ha éppen ennyi, akkor a

H D'

szakaszhoz tartozó középponti szög

\frac{π}{3}

, azaz

γ = \frac{π}{6}

. Ha a kör sugarát növeljük, akkor

γ

értéke csökken, és minden esetben az

A

pont megszerkeszthető. Tehát a

H A F

szög nagysága tetszőleges,

\frac{π}{6}

-nál nem nagyobb pozitív érték lehet.