Kezdőlap


Feladat:	C.693	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tassy Gergely
Füzet:	2003/május, 273. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: C.693

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje az $A B C$ egyenlő szárú háromszög ( $A B = A C$ ) alapját $a$ , szárait $b$ , szárszögét $α$ , az alaphoz tartozó magasságot $m_{a}$ , a szárakhoz tartozó magasságot $m_{b}$ .
Az $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{b}$ oldalú háromszög szerkeszthetőségének szükséges és elégséges feltétele, hogy $2 m_{b} > m_{a}$ legyen (az $m_{a} + m_{b} > m_{b}$ nyilván mindig teljesül).

A B C

háromszög területe:

T = \frac{a \cdot m_{a}}{2} = \frac{b \cdot m_{b}}{2}

, innen

m_{a} = \frac{2 T}{a}

m_{b} = \frac{2 T}{b}

. Ezt helyettesítve a

2 m_{b} > m_{a}

egyenlőtlenségbe és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{b} > \frac{1}{2} . \end{matrix}

(1)

A B C

háromszögben az

α

szög szögfelezőjének talppontját jelölje

D

(

A D ⊥ B C

). Az

A D C

derékszögű háromszögben

sin \frac{α}{2} = \frac{a}{2 b}

. Helyettesítsük ezt be (1)-be; azt kapjuk, hogy

sin \frac{α}{2} > \frac{1}{4}

, és innen

α > 28, 95^{\circ}

.
Tehát az olyan egyenlő szárú háromszögek magasságvonalaiból szerkeszthető háromszög, amelyekben a szárszög nagyobb, mint

28, 95^{\circ}

() Tassy Gergely (Budapest, Veres Péter Gimn., 10. évf.)