Kezdőlap


Feladat:	C.692	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/május, 272 - 273. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: C.692

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Keressünk olyan $k$ és $n$ nemnegatív racionális számokat, amelyekre igaz, hogy ha az első egyenlőtlenség $k$ -szorosához hozzáadjuk a második egyenlőtlenség $n$ -szeresét, akkor a harmadik egyenlőtlenséget kapjuk. Írjuk fel a műveleteket:

\begin{matrix} \begin{matrix} k x + k \cdot 2 y + k \cdot 4 z & \geq & 3 k, \\ n y - n \cdot 3 x + n \cdot 2 z & \geq & 5 n . \end{matrix} \end{matrix}

Végezzük el az összeadást:

\begin{matrix} (n + 2 k) y + (k - 3 n) x + (4 k + 2 n) z \geq 3 k + 5 n . \end{matrix}

(*)

Ez akkor egyezik meg a harmadik egyenlőtlenséggel, ha minden egyes ismeretlen együtthatója megegyezik, másfelől a konstansok is egyenlők, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} (1) & n + 2 k & = & 1, & (3) & 4 k + 2 n & = & 2, \\ (2) & k - 3 n & = & - 1, & (4) & 3 k + 5 n & = & 3. \end{matrix} \end{matrix}

A (3) egyenlőség ugyanazt mondja ki, mint az (1). Az (1) és (2) egyenletekből

n = 1 - 2 k

k = \frac{2}{7}

és

n = \frac{3}{7}

adódik.
Írjuk ezt be a

(*)

egyenlőtlenségbe:

\begin{matrix} (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) y + (\frac{2}{7} - \frac{9}{7}) x + (\frac{8}{7} + \frac{6}{7}) z \geq \frac{6}{7} + \frac{15}{7}, \end{matrix}

azaz

y - x + 2 z \geq 3

, valóban a kívánt egyenlőtlenséget kaptuk.