|
Feladat: |
A.304 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bergmann Gábor , Bóka Gergely , Csóka Endre , Czank Tamás , Gáti Beatrix , Hablicsek Márton , Hercegh Attila , Horváth Márton , Kiss-Tóth Christián , Kocsis Albert Tihamér , Kórus Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Nagy Zoltán , Németh Andrián , Pach Péter Pál , Paulin Roland , Pongrácz András , Rácz Béla András , Simon Balázs |
Füzet: |
2003/április,
228 - 229. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényegyenletek, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2002/november: A.304 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az helyettesítésből , így . (, hiszen a függvény pozitív értékeket vesz fel.) Az helyettesítésből miatt , azaz vagy . 1. eset: . Megmutatjuk, hogy a függvény csak a konstans lehet. Helyettesítsünk a függvényegyenletbe -et: | | Ezzel máris igazoltuk, hogy esetén . Legyen most tetszőleges, és válasszuk -t olyan nagynak, hogy , és is nagyobb legyen, mint . Ekkor , és a függvényegyenlet szerint , azaz . A konstans függvény eleget is tesz a függvényegyenletnek: az és megválasztásától függetlenül mindkét oldal értéke . 2. eset: . Először megmutatjuk, hogy az függvény egyszerre additív és multiplikatív, azaz tetszőleges , számok esetén és , majd ennek felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az függvény csak az identitás lehet: . Az (1) függvényegyenlet alapján elég az additív tulajdonságot igazolni, a multiplikatív tulajdonság ebből már következik. A függvényegyenletbe -et helyettesítve , tehát . Legyen most és két tetszőleges pozitív szám. Az (1) egyenletet írjuk fel az , és az , számpárokra is: | | illetve | | A két egyenletet kivonva egymásból, . Ezzel az additív tulajdonságot igazoltuk. Az additivitásból és -ből következik, hogy tetszőleges pozitív egészre . A multiplikativitás alapján pedig tetszőleges , egészek esetén Tehát tetszőleges pozitív racionális számra . Az additivitásból és a függvény pozitivitásából az is következik, hogy a függvény monoton: esetén . Legyen most egy tetszőleges pozitív valós szám, és tegyük fel, hogy . Ha , akkor ‐ mivel a racionális számok halmaza sűrű ‐ létezik egy olyan racionális szám, amelyre . A egyenlőtlenségből azonban a függvény monotonitása miatt az következik, hogy , ami ellentmondás. Ha , akkor az egyenlőtlenségek irányának megfordításával hasonlóan jutunk ellentmondásra. Tehát csak lehetséges. Az függvény eleget tesz a feltételeknek; az (1) függvényegyenlet mindkét oldalán áll.
Megjegyzések. A 2. esetben a függvénynek több érdekes tulajdonságát bizonyítottuk, illetve használtuk fel: ; A függvény pozitív; A függvény (szigorúan) monoton nő; A függvény additív; A függvény multiplikatív. Ezekből a tulajdonságokból ‐ illetve bizonyos részhalmazaikból ‐ többféleképpen is igazolható, hogy . Például, ha egy függvény egyszerre pozitív és additív, akkor lineáris: alkalmas konstanssal. (Az tulajdonságból kapjuk, hogy .) A multiplikativitásból egyszerűen következik a pozitivitás: tetszőleges pozitív valós számra . Ezért nem nehéz az összes olyan (tehát nem feltétlenül pozitív) függvényt sem megtalálni, amely eleget tesz az (1) függvényegyenletnek. A már látott két eset lényegében ugyanígy vizsgálható, ezen kívül még az , ezen belül az , illetve eseteket kell megvizsgálni. A valós vagy a pozitív valós számok halmazán értelmezett, egyszerre additív és multiplikatív függvények halmaza igen szűk: az identitáson kívül csupán a konstans ilyen. Más algebrai testeken vagy gyűrűkön értelmezett függvények esetében ez a problémakör lényegesen bonyolultabb. |
|