A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A feladat egyenlőtlenségében helyére 3-at és helyére 2-t írva teljesülnie kell, hogy , és így értéke legalább . Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenség minden ilyen értékre teljesül, ha és nemnegatív számok. A számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenséget a feltétel szerint nemnegatív 2 és 3 értékekre felírva Ha , akkor -vel szorozva Ha , azaz , akkor (1) jobb oldala nagyobb, vagy egyenlő, mint , igaz tehát a szóban forgó egyenlőtlenség. A vizsgált egyenlőtlenség tehát pontosan akkor teljesül minden nemnegatív , valós számra, ha legalább .
() Kalcsú Áron (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 12. évf.) |
Megjegyzés. A megoldások lényegében a fenti utat követték. Az első lépésben persze minden olyan helyettesítés megfelel, amikor egyenlőség van a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben, azaz . Valamit egyszerűsödik a feladat szerkezete, ha úgy rendezzük át, hogy ne függjön mindkét oldal a változóktól, azaz például alakban vizsgáljuk. (Eközben persze ki kell zárnunk az esetet, de ez nyilván nem jelent megszorítást a -re.) Innen jobban látszik, hogy valójában az függvény legkisebb felső korlátját keressük. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint az függvénynek létezik maximális értéke, és az éppen , a feladat megoldása. |