Kezdőlap


Feladat:	B.3563	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kalcsú Áron
Füzet:	2003/április, 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/szeptember: B.3563

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat egyenlőtlenségében $x$ helyére 3-at és $y$ helyére 2-t írva teljesülnie kell, hogy $t \cdot 12 \geq \sqrt[]{6}$ , és így $t$ értéke legalább $\frac{\sqrt[]{6}}{12} = \frac{1}{2 \sqrt[]{6}}$ . Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenség minden ilyen $t$ értékre teljesül, ha $x$ és $y$ nemnegatív számok.
A számtani és mértani közép között fennálló egyenlőtlenséget a feltétel szerint nemnegatív 2 $x$ és 3 $y$ értékekre felírva

\begin{matrix} 2 x + 3 y \geq 2 \sqrt[]{2 x \cdot 3 y} = 2 \sqrt[]{6} \sqrt[]{x y} . \end{matrix}

t \geq 0

, akkor

t

-vel szorozva

\begin{matrix} t (2 x + 3 y) \geq t \cdot 2 \sqrt[]{6} \sqrt[]{x y} . \end{matrix}

(1)

t \geq \frac{1}{2 \sqrt[]{6}}

, azaz

t \cdot 2 \sqrt[]{6} \geq 1

, akkor (1) jobb oldala nagyobb, vagy egyenlő, mint

\sqrt[]{x y}

, igaz tehát a szóban forgó egyenlőtlenség.
A vizsgált egyenlőtlenség tehát pontosan akkor teljesül minden nemnegatív

x

y

valós számra, ha

t

legalább

\frac{1}{2 \sqrt[]{6}}

() Kalcsú Áron (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 12. évf.)

Megjegyzés. A megoldások lényegében a fenti utat követték. Az első lépésben persze minden olyan helyettesítés megfelel, amikor egyenlőség van a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben, azaz

2 x = 3 y

. Valamit egyszerűsödik a feladat szerkezete, ha úgy rendezzük át, hogy ne függjön mindkét oldal a változóktól, azaz például

\begin{matrix} A (x, y) = \frac{\sqrt[]{x y}}{2 x + 3 y} \leq t \end{matrix}

alakban vizsgáljuk. (Eközben persze ki kell zárnunk az

x = y = 0

esetet, de ez nyilván nem jelent megszorítást a

t

-re.) Innen jobban látszik, hogy valójában az

A (x, y)

függvény legkisebb felső korlátját keressük. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint az

A (x, y)

függvénynek létezik maximális értéke, és az éppen

\frac{1}{2 \sqrt[]{6}}

, a feladat megoldása.