Kezdőlap


Feladat:	C.690	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Éliás Gergely
Füzet:	2003/április, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térfogat, Szorzat, hatványozás azonosságai, Maradékos osztás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: C.690

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat úgy fogalmazható át az algebra nyelvére, hogy létezik-e három pozitív egész szám, amelyek köbének összege 2002?
Tudjuk, hogy egy egész szám 3-mal osztva 0, 1 vagy 2 (azaz $- 1$ ) maradékot ad, azaz $3 k$ , $3 k + 1$ , vagy $3 k - 1$ alakú, alkalmas $k$ egésszel. Ha a számokat köbre emeljük, akkor

\begin{matrix} \begin{matrix} {(3 k)}^{3} & = 27 k^{3}, \\ {(3 k + 1)}^{3} & = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 9 k + 1 = 9 (3 k^{3} + 3 k^{2} + k) + 1, \\ {(3 k - 1)}^{3} & = 27 k^{3} - 27 k^{2} + 9 k - 1 = 9 (3 k^{3} - 3 k^{2} + k) - 1, \end{matrix} \end{matrix}

tehát a 9-cel való osztás maradéka 0, 1 vagy 8 (azaz

- 1

) lesz. Ezért három köbszám összegének 9-cel való osztási maradéka 0,

\pm 1

\pm 2

\pm 3

lehet. A 2002 maradéka 9-cel osztva 4, így a feladat kérdésére nemleges a válasz.

() Éliás Gergely (Pannonhalma, Bencés Gimn., 12. évf.)