Feladat: B.3579 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Poronyi Balázs 
Füzet: 2003/március, 152 - 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/október: B.3579

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vezessük be azt a sorozatot, amit a következő rekurzió definiál: x1≥0,75 valós szám, és ha n>1, akkor

xn=-3+4xn-1.
A feladat x1 azon értékeinek megadása, amelyekre x1=x4.
Vizsgáljuk meg az xn sorozatot monotonitás szempontjából. Az xn sorozat szigorúan monoton növekszik, ha minden n esetén xn>xn-1, azaz ha
-3+4xn-1>xn-1.

A sorozat képzési szabályából következik, hogy minden tagja pozitív, így az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük:
-3+4xn-1>xn-12,0>xn-12-4xn-1+3,0>(xn-1-1)(xn-1-3).
Ez azt jelenti, hogy a sorozat pontosan akkor szigorúan monoton növő, ha minden n>1-re 1<xn-1<3. Ezt a feltételt elég n=2-re megkövetelni; ha ugyanis valamilyen k-ra 1<xk-1<3 teljesül, akkor
1=-3+4⋅1<-3+4xk-1=xk<-3+4⋅3=3
is fennáll. Tehát a sorozat akkor és csak akkor lesz szigorúan monoton növő, ha 1<x1<3. Ugyanígy látható be az is, hogy ha 0,75≤x1<1 vagy 3<x1, akkor a sorozat szigorúan monoton fogyó (vagy ‐ az előbbi esetben ‐ esetleg valameddig szigorúan fogy, majd az éppen soron következő -3+4xt negatívvá válása miatt ,,megáll'', vagyis a többi tagja már nem értelmezett). Tehát ha x1=x4, akkor ez csak x1=1 vagy x1=3 esetén teljesülhet.
Ha x1=1, akkor x2=-3+4⋅1=1, ez azt jelenti, hogy ‐ a sorozat képzési szabálya miatt ‐ a sorozat minden tagja 1. Ha x1=3, akkor x2=-3+4⋅3=3, vagyis a sorozat minden tagja 3. Tehát az egyenlet megoldásai: x=1 és x=3.
Megjegyzés: A levezetésből következik, hogy az
x=-3+4-3+4...-3+4x
alakú egyenleteknek (melyekben k darab négyzetgyökjel szerepel) szintén csak az x=1 és x=3 a megoldása.
() Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimnázium, 10. évf.)