Kezdőlap


Feladat:	B.3577	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Sándor
Füzet:	2003/március, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: B.3577

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $sin 3 x + 3 cos x = 2 sin 2 x \cdot (sin x + cos x)$ egyenletben először alkalmazzuk az addíciós tételt a következő módon:

\begin{matrix} \begin{matrix} sin (2 x + x) + 3 cos x & = 2 sin 2 x \cdot sin x + 2 sin 2 x \cdot cos x, \\ cos 2 x \cdot sin x + sin 2 x \cdot cos x + 3 cos x & = 2 sin 2 x \cdot sin x + 2 sin 2 x \cdot cos x . \end{matrix} \end{matrix}

Felhasználva a kétszeres szögek szinuszára, illetve koszinuszára vonatkozó összefüggéseket, az alábbi egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} cos^{2} x \cdot sin x - sin^{3} x + 3 cos x = 4 sin^{2} x \cdot cos x + 2 sin x \cdot cos^{2} x . \end{matrix}

A 0-ra rendezés és a lehetséges összevonások után:

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 sin^{2} x \cdot cos x + sin x \cdot (cos^{2} x + sin^{2} x) - 3 cos x & = 0, \\ 4 sin^{2} x \cdot cos x + sin x - 3 cos x & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy

cos x = 0

nem vezet megoldáshoz, így

cos x

-szel eloszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát:

\begin{matrix} 4 sin^{2} x + tg x - 3 = 0, \end{matrix}

Ezután a

sin^{2} x = \frac{{tg}^{2} x}{{tg}^{2} x + 1}

azonosságot alkalmazva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 4 \cdot \frac{{tg}^{2} x}{{tg}^{2} x + 1} + tg x - 3 = 0. \end{matrix}

Rendezve az egyenletet

tg x

-re vonatkozó harmadfokú egyenlethez jutunk, aminek megsejthetően 1 az egyik gyöke:

\begin{matrix} (tg x - 1) ({tg}^{2} x + 2 tg x + 3) = 0. \end{matrix}

A másodfokú kifejezés diszkriminánsa negatív, ezért a fenti egyenlet egyetlen megoldása:

\begin{matrix} tg x = 1, x = \frac{π}{4} + k π, ahol k \in Z . \end{matrix}

() Tóth 156 Sándor (Csongrád, Batsányi J. Gimn., 12. évf.) megoldása