Feladat: B.3566 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes 
Füzet: 2003/március, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/szeptember: B.3566

Az ABC háromszögről tudjuk, hogy minden P belső pontjára a PA, PB és PC szakaszokból háromszög szerkeszthető. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög szabályos.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben a háromszög nem szabályos. Ekkor van két különböző hosszúságú oldala. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a=BC<AC=b. Legyen b-a=ε, P pedig olyan pont a háromszög belsejében, melynek a C csúcstól való távolsága, PC=δε3 (1. ábra). A BCP háromszögre felírva a háromszög-egyenlőtlenséget kapjuk, hogy PB<PC+CB=a+δ. Hasonlóképpen az ACP háromszögből kapjuk, hogy AC<AP+PC, vagyis PA>AC-CP=b-δ. Ekkor azonban

PA-PB>(b-δ)-(a+δ)=ε-2δδ=PC,
tehát PA>PB+PC, és ezért a PA, PB, PC szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Ez az ellentmondás igazolja, hogy ABC csak szabályos háromszög lehet.
 
 

1. ábra
 

Meg kell még mutatnunk, hogy ha ABC szabályos háromszög, akkor a PA, PB, PC szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög. Legyen a=AB=BC=CA. Ismert, hogy egy háromszögben lévő szakasz rövidebb, mint a háromszög leghosszabb oldala (ennek bizonyítását lásd pl.: Geometriai feladatok gyűjteménye I., 170. feladat), esetünkben tehát a PA, PB, PC szakaszok mindegyike rövidebb, mint a. Másrészt viszont az APB, BPC és a CPA háromszögekből (2. ábra) a háromszög-egyenlőtlenség alapján kapjuk, hogy a szakaszok közül bármelyik kettő együttesen hosszabb, mint a. Tehát a PA, PB, PC szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög.
 
 

2. ábra
 

(Backhausz Ágnes (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. évf.)
dolgozatát felhasználva

 
Megjegyzés. Ha az ABC háromszög szabályos, akkor belső P pontokra egy jól ismert fogással meg is szerkeszthető a PA, PB, PC oldalú háromszög. Forgassuk el az A körül az ABC háromszöget +60-kal. Ha P képe P', akkor az APP' háromszög szabályos, tehát PP'=PA. Másfelől a B elforgatottja C, azért PB=P'B'=P'C. A PCP' háromszög tehát megfelel a feltételeknek, oldalai PC,PA=PP' és PB=P'C.
 
 

3. ábra