Kezdőlap


Feladat:	3528. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sándor Nóra Katalin , Szilágyi Péter
Füzet:	2003/január, 46 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Optikai alapjelenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: 3528. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képzeljük el, hogy az $n_{1}$ törésmutatójú közegben a tengelyen, a gömbfelülettől $t$ távolságban egy pontszerű tárgy található. Határozzuk meg először, hol keletkezik kép erről a tárgyról!
Bontsuk fel gondolatban az $n_{2}$ törésmutatójú közeget egy, a tengelyre merőleges síkkal két részre: egy síkdomború, vékony lencsére, valamint egy síklappal határolt térrészre. Helyezzünk a két rész közé ‐ ugyancsak gondolatban ‐ $n_{1}$ törésmutatójú anyagból készült, elhanyagolható vastagságú plánparalel lemezt (1. ábra). (Ez a lemez nem változtatja meg a fénysugarak haladási irányát, csak párhuzamosan eltolja azokat, de mivel a vastagsága nagyon kicsi, ezt az eltolódást is figyelmen kívül hagyhatjuk.)

1. ábra

n_{2}

törésmutatójú anyagból készült,

n_{1}

törésmutatójú környezetben elhelyezkedő síkdomború lencse fókusztávolsága az

\begin{matrix} \frac{1}{f} = (\frac{n_{2}}{n_{1}} - 1) \frac{1}{R} \end{matrix}

képletből számítható, tehát

\begin{matrix} f = \frac{R n_{1}}{n_{2} - n_{1}} . \end{matrix}

(1)

Ez a lencse (ha mindkét oldalát teljes terjedelmében

n_{1}

törésmutatójú közeg töltené ki) a

t

távolságban levő tárgyról bizonyos

k_{1}

távolságban alkotna képet. A lencsetörvény szerint

\begin{matrix} \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{t} = \frac{1}{f}, \end{matrix}

(2)

innen

k_{1}

kiszámítható. A lencséből kilépő fénysugarak azonban csak egy rövid szakaszon haladnak az

n_{1}

törésmutatójú közegben, majd a plánparalel lemez túlsó szélén megtörve nem

k_{1}

, hanem attól eltérő

k

távolságban metszik az optikai tengelyt, ott alkotnak képet (2. ábra). A Snellius‐Descartes-törvény szerint

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \end{matrix}

A 2. ábráról leolvasható továbbá, hogy

\begin{matrix} tg α = \frac{s}{k_{1}}, illetve tg β = \frac{s}{k} . \end{matrix}

Kis szögek (az optikai tengelyhez közel haladó fénysugarak) esetén alkalmazható a

sin α \approx tg α

és a

sin β \approx tg β

közelítés, így

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = \frac{n_{2}}{n_{1}} \approx \frac{tg α}{tg β} = \frac{k}{k_{1}}, \end{matrix}

ahonnan (a vizsgált közelítésben)

k_{1} = n_{2} k / n_{1}

. Ezt a (2) lencsetörvénybe helyettesítve és (1)-et is felhasználva a következő általánosított leképezési törvényt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{n_{1}}{t} + \frac{n_{2}}{k} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R} . \end{matrix}

(3)

2. ábra

Térjünk most vissza az eredeti feladathoz, vagyis annak vizsgálatához, hogy milyen esetben haladhatnak a megtört fénysugarak a tengellyel párhuzamosan. Ha a fénysugarak az

n_{1}

törésmutatójú közegből indultak, és majdnem párhuzamosan haladnak tovább (

k \to \infty

, azaz

1 / k \to 0)

, a (3) összefüggés szerint

\begin{matrix} t = \frac{n_{1}}{n_{2} - n_{1}} R . \end{matrix}

Ha viszont az

n_{2}

törésmutatójú közegből indulnak, és a másik közegben haladnak párhuzamosan tovább, akkor ‐ a sugármenetek megfordíthatóságának elvét alkalmazva ‐ (3)-ban a

t \to \infty

, azaz

1 / t \to 0

határátmenetet kell vizsgálnunk. Ehhez

\begin{matrix} k = \frac{n_{2}}{n_{2} - n_{1}} R \end{matrix}

fényforrás-távolság tartozik.
A feladat követelményének megfelelő pont csak akkor létezik, ha

n_{2} > n_{1}

(hiszen a fentebb kiszámított

t

, illetve

k

pozitív kell legyen), ekkor viszont kettő is eleget tesz a kívánt feltételnek.

() Szilágyi Péter (Debreceni Egyetem Kossuth L. Gyak. Gimn., 10. o.t.)

3. ábra

II. megoldás. Tételezzük fel, hogy a fény az

n_{2}

törésmutatójú közegből, a gömb

O

középpontjától

d

távolságra levő

P

pontból indul, majd a másik közegben a tengellyel párhuzamosan halad tovább (3. ábra). Mivel

β

külső szög,

β > α

, ahonnan hegyesszögekre

sin β > sin α

, továbbá

\begin{matrix} \frac{sin β}{sin α} = \frac{n_{2}}{n_{1}}, \end{matrix}

így tehát a vizsgált sugármenet csak

n_{2} > n_{1}

esetén teljesülhet. Az ábráról leolvasható, hogy (a kicsiny szögekre érvényes közelítésben)

\begin{matrix} β \approx \frac{h}{R}, φ \approx \frac{h}{R + d}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} α = β - φ és \frac{α}{β} \approx \frac{sin α}{sin β} = \frac{n_{1}}{n_{2}} . \end{matrix}

Ezekből az összefüggésekből

\begin{matrix} d = R \frac{n_{1}}{n_{2} - n_{1}}, \end{matrix}

azaz a fényforrás és a közeghatár távolsága

\begin{matrix} R + d = \frac{n_{2}}{n_{2} - n_{1}} R \end{matrix}

kell legyen.

4. ábra

Hasonló módon vizsgálható az az eset is, amikor a fényforrás az

n_{1}

törésmutatójú közegben található (a gömb középpontjától

d

távolságban), és a belőle kiinduló fénysugarak a másik közegben haladnak párhuzamosan (4. ábra). Most

α

a külső szög,

α > β

, tehát

sin α > sin β

, így ismét

n_{2} > n_{1}

a megoldhatóság feltétele. Az ábra szerint (ismét csak kicsiny szög közelítésben)

\begin{matrix} β \approx \frac{h}{R}, φ \approx \frac{h}{d - R}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} α = β + φ és \frac{α}{β} \approx \frac{sin α}{sin β} = \frac{n_{2}}{n_{1}} . \end{matrix}

Innen kapjuk, hogy

\begin{matrix} d = R \frac{n_{2}}{n_{2} - n_{1}}, \end{matrix}

azaz a fényforrás és a közeghatár távolsága

\begin{matrix} d - R = \frac{n_{1}}{n_{2} - n_{1}} R \end{matrix}

kell legyen.

() Sándor Nóra Katalin (Pápai Ref. Koll. Gimn., 11. o.t.)