Kezdőlap


Feladat:	C.689	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/március, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: C.689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vezessük be a következő jelölést: $log_{2} x = y$ , ahonnan $x = 2^{y}$ . Ezt és a logaritmus azonosságait felhasználva az egyenlet a következő alakba írható:

\begin{matrix} 2^{2 y^{2} + 4 y} - 2^{y^{2} + 3 y + 2} - 2^{y^{2} + 4 y + 4} + 2^{3 y + 6} = 0. \end{matrix}

(1)

Az első tag esetén pl. a következő átalakítást végeztük:

\begin{matrix} x^{log_{2} (16 x^{2})} = x^{log_{2} 16 + 2 log_{2} x} = x^{4 + 2 y} = {(2^{y})}^{4 + 2 y} = 2^{4 y + 2 y^{2}} . \end{matrix}

Hasonló átalakításokat végeztünk a többi tag esetén is.
Ezután osszuk végig az (1) egyenletet

2^{3 y + 6} \neq 0

-val. Alkalmazzuk az egyenlő alapú hatványok osztására ismert azonosságot; pl.

\begin{matrix} \frac{2^{2 y^{2} + 4 y}}{2^{3 y + 6}} = 2^{2 y^{2} + 4 y - (3 y + 6)} = 2^{2 y^{2} + y - 6} . \end{matrix}

A következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 2^{2 y^{2} + y - 6} - 2^{y^{2} - 4} - 2^{y^{2} + y - 2} + 1 = 0. \end{matrix}

2^{y^{2} - 4} = a

és

2^{y^{2} + y - 2} = b

helyettesítéssel, és figyelembe véve, hogy

2^{2 y^{2} + y - 6} = a b

, kapjuk, hogy

a b - a - b + 1 = a (b - 1) - (b - 1) = (a - 1) (b - 1) = 0.

Egyenletünk tehát szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (2^{y^{2} - 4} - 1) (2^{y^{2} + y - 2} - 1) = 0. \end{matrix}

Innen vagy

2^{y^{2} - 4} = 1

, és

y^{2} - 4 = 0

-ból

y = \pm 2

. Ha

y_{1} = log_{2} x = 2

, akkor

x_{1} = 4

; és ha

y_{2} = log_{2} x = - 2

, akkor

x_{2} = \frac{1}{4}

.
Vagy a

2^{y^{2} + y - 2} = 1

és az

y^{2} + y - 2 = 0

egyenletből

y_{3} = log_{2} x = 1

és

x_{3} = 2

; és ha

y_{4} = - 2

, akkor

x_{4} = \frac{1}{4}

, ahogy ezt már előbb is kaptuk.
(Helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a kapott értékek valóban az egyenlet gyökei, illetve meggondolhatjuk, hogy a megoldás során kizárólag ,,ekvivalens átalakításokat'' hajtottunk végre.)