Megoldás. A feladat szövegéből nem volt világos, hogy kezdődhetnek-e 0-val a számok. Ha ugyanis nem, akkor például minden 1-nél nagyobb 10-hatvány külön-külön egy 1-elemű halmazt alkot. Ezekre a $H_n=\left\{{10}^n\right\}$ halmazokra $d_n={10}^n$, ezeknek a $d_n$-eknek azonban nincs legnagyobb értéke.
Feltételezzük tehát, hogy a számok akár 0-val is kezdődhetnek.
Minden halmazban van két olyan szám, amelyek csak a két legkisebb helyiértéken térnek el, mert az eredeti szám minden átrendezése szerepel a halmazban, továbbá nem ugyanaz az összes számjegy. Feltéve, hogy $a>b$, ezek különbségére: $\overline{\text{...}ab}-\overline{\text{...}ba}=\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-\left(10b+a\right)=9\left(a-b\right)$. Nyilván $0\le a-b\le 9$, így a különbség ‐ és így a legnagyobb közös osztó ‐ lehetséges legnagyobb értéke 81, ha $a=9$, $b=0$.
Megmutatjuk, hogy van olyan $n$ szám, amely 81-gyel osztható, és minden átrendezése is osztható 81-gyel. Azt kell csak elérni, hogy $\frac{n}{9}$ még mindig osztható legyen 9-cel. Ha $n$ kilenc darab 9-esből és néhány 0-ból áll, akkor minden átrendezése teljesíti ezt a feltételt.