Kezdőlap


Feladat:	B.3567	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/február, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvex sokszögek, Egyéb sokszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/szeptember: B.3567

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje az ötszög csúcsait valamely körüljárás szerint sorban $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , legyen $M$ és $N$ az $E C$ átlónak az $A D$ , illetve $B D$ átlókkal való metszéspontja, továbbá vezessük be az $A B = a$ , $B C = b$ , $D M = x$ , $E M = y$ jelöléseket (1. ábra).

1. ábra

Ekkor az oldalak és az átlók párhuzamosságából következik, hogy az

A B C M

és

A B N E

négyszögek paralelogrammák. Ezért

A M = b

E N = M C = a

, és így

M N = t = a - y

. Az

A M C

és

D M E

háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezért megfelelő oldalaik aránya is megegyezik, tehát

x : b = y : a

. Ugyanígy kapjuk az

A M E

és

D M N

háromszögek hasonlóságából, hogy

x : b = t : y

. A két egyenlőségből

y^{2} = a t

, vagyis

y^{2} = a (a - y)

adódik. Ezt a másodfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy

y = \frac{- a \pm \sqrt[]{a^{2} + 4 a^{2}}}{2}

. Mivel

y > 0

, az

A B

oldal és a vele párhuzamos

E C

átló arányára

\begin{matrix} A B : E C = a : (y + a) = a : \frac{(1 + \sqrt[]{5}) a}{2} = \frac{2}{1 + \sqrt[]{5}} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} . \end{matrix}

Nyilván ugyanez az aránya bármelyik oldal és az azzal párhuzamos átló hosszának is. A feltételeknek eleget tevő ötszögek léteznek is, pl. a szabályos ötszög ilyen.

Megjegyzés. Sokan megpróbálták bebizonyítani, hogy feltételeinkből az ötszög szabályos mivolta következik. Ez azonban nem igaz. A feladat feltételeinek nem csak a szabályos ötszög, hanem valamennyi affin szabályos ötszög is eleget tesz. Ezekről a sokszögekről az érdeklődő olvasó Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének 12. fejezetében találhat részletes leírást.