Feladat: B.3548 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóka Gergely ,  Torma Róbert 
Füzet: 2003/január, 34 - 35. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: B.3548

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje a sorozat egyik tagját a, különbségét pedig d. A feladat feltételeiből következik, hogy a és d pozitív egész. Ha m tetszőleges pozitív egész, akkor cm=a(d+1)m is eleme a sorozatnak, hiszen a-tól való különbsége a((d+1)m-1), ami d-nek pozitív egész többszöröse. A cm számok prímosztói nem függnek az m-től, ezért a legnagyobb prímosztójuk sem; jelöljük ezt p-vel. Mivel cm tetszőlegesen nagy lehet, azért cmp sem lehet (felülről) korlátos.

() Bóka Gergely (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 11. évf.)

 
II. megoldás. Legyen a sorozat első eleme a, különbsége d. Válasszunk egy olyan k természetes számot, amely a-nál is és d-nél is nagyobb; legyen továbbá p és q két olyan prímszám, amelyekre k<p<q. Az a,a+d,a+2d,...,a+(pq-1)d számok mind különböző maradékot adnak pq-val osztva, hiszen közülük az i-ediknek és a j-ediknek a különbsége (i-j)d; itt egyrészt d<p<q miatt d relatív prím a pq-hoz, másrészt 0<|i-j|<pq, ezért (i-j)d valóban nem osztható pq-val. Létezik tehát az összesen pq darab szám között (pontosan) egy, amely osztható pq-val, legyen ez a+td. Ha ezt a számot elosztjuk a legnagyobb prímosztójával ‐ ami legalább q, vagyis semmiképpen sem p ‐, a kapott hányados továbbra is osztható lesz p-vel, és így nagyobb, mint k. Mivel a k számot tetszőlegesen nagynak választhattuk, a kapott hányados is akármilyen nagy lehet.
() Torma Róbert (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 9. évf.)

 
III. megoldás. Jelölje a sorozat egy tetszőleges elemét a, különbségét d. Ekkor b=a+ad=a(1+d) is eleme a sorozatnak. Legyen p az a legnagyobb prímosztója, q pedig b legnagyobb prímosztója; mivel a∣b, azért p≤q. Ha q=p, akkor ap<a(1+d)p=a(1+d)q=bq, míg q>p esetén q∣1+d miatt ap<a≤a(1+d)q=bq. A kapott sorozat tehát nem korlátos, hiszen minden tagjánál van nagyobb tagja.