Kezdőlap


Feladat:	B.3542	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kajtár Máté
Füzet:	2003/január, 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: B.3542

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A csupa 1-esből álló számok közül a 111111 a legkisebb 7-tel osztható, és ez osztható 37-tel is. Legyen $K$ az $n$ darab 1-esből álló szám, és osszuk el $n$ -et maradékosan 6-tal: $n = 6 k + x$ , ahol $0 < x \leq 6$ . Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} K & = & {\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{} {\underset{︸}{11 ... 11}}_{6 k}^{} = {\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{} \cdot 10^{6 k} + 111111 \cdot 10^{6 k - 6} + 111111 \cdot 10^{6 k - 12} + \\ + ... + 111111 \cdot 10^{6} + 111111 = \\ = & {\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{} \cdot 10^{6 k} + 111111 \cdot (10^{6 k - 6} + 10^{6 k - 12} + ... + 10^{6} + 1) . \end{matrix} \end{matrix}

Tudjuk, hogy itt az összeg második tagja 7-tel is és 37-tel is osztható; így

K

pontosan akkor osztható 7-tel, ha az első tag,

{\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{} \cdot 10^{6 k}

osztható 7-tel. Ez csak úgy lehet, ha

7 ∣ {\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{}

, ami a

0 < x \leq 6

tartományon belül csak

x = 6

-ra áll fenn. Ebben az esetben viszont

37 ∣ {\underset{︸}{11 ... 1}}_{x}^{}

is teljesül. Ezzel az állítást beláttuk.

() Kajtár Máté (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 10. évf.)