Kezdőlap


Feladat:	1377. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vankó Péter
Füzet:	1977/január, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Becslési feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: 1377. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $r_{0}$ -lal az üreg sugarát, középpontjának a gömb középpontjától mért távolságát $d$ -vel, a gömb anyagának sűrűségét $ϱ$ -val. A test tömege a térfogatából és a sűrűségből határozható meg:

\begin{matrix} m = 4 π (r^{3} - r_{0}^{3}) ϱ / 3. \end{matrix}

(1)

A gömb középpontján áthaladó tengelyek közül arra nézve lesz a tehetetlenségi nyomaték minimális, amely merőleges a gömb és az üreg középpontjait összekötő egyenesre. Értékét a Steiner-tétel alapján számíthatjuk ki:

\begin{matrix} Θ = \frac{8 π}{15} (r^{5} - r_{0}^{5}) ϱ - \frac{4 π}{3} r_{0}^{3} ϱ d^{2} . \end{matrix}

(2)

A fenti két egyenletből nem lehet egyértelműen meghatározni az ismeretlen mennyiségeket (

r_{0}

d

és

ϱ

), de lehetséges értékeiket határok közé szoríthatjuk.
Fejezzük ki az (1) egyenletből a

ϱ

sűrűséget, és helyettesítsük be (2)-be. Átrendezés után:

\begin{matrix} d^{2} = - \frac{2}{5} r_{0}^{2} + \frac{Θ}{m} + (\frac{2}{5} r^{2} - \frac{Θ}{m}) r^{3} \frac{1}{r_{0}^{3}} \end{matrix}

(3)

adódik. A numerikus adatokkal:

\begin{matrix} d^{2} = - 0, 4 r_{0}^{2} + 13, 44 {cm}^{2} - \frac{430 {cm}^{5}}{r_{0}^{3}} \end{matrix}

d^{2}

-re a

0 \leq d^{2} \leq {(r - r_{0})}^{2}

triviális kikötés tehető. Ezt a feltételt a (4) egyenlet jobb oldala csak

3, 86 cm \leq r_{0} \leq 4, 22 cm

teljesülése esetén tudja kielégíteni. Erről legegyszerűbben táblázat készítésével győződhetünk meg.

r_{0}

imént kapott értékeiből (1) alapján határozhatjuk meg a sűrűség lehetséges értékeit:

\begin{matrix} 3, 53 {g/cm}^{3} \leq ϱ \leq 4, 79 {g/cm}^{3} . \end{matrix}

(5)

Vankó Péter (Bp., Móricz Zs. Gimn. IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Az adatok hiányossága miatt nem volt szükség a tehetetlenségi nyomaték minimumának igen pontos (kb. 0,03%) mérésére.
2. A feladat egy szó elírása miatt az eredetileg elképzelthez képest más értelemmel jelent meg. A feladatot ezért 1410-es számmal ismét kitűzzük.