Kezdőlap


Feladat:	3529. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rakyta Péter , Siroki László , Vigh Máté
Füzet:	2002/december, 568 - 570. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Stefan--Boltzmann-törvény, A Nap sugárzása (Napállandó), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: 3529. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A napsugárzás intenzitását (az ún. napállandót) a Nap-Föld távolságnak megfelelő gömb felszínével szorozva megkapjuk a jelenlegi ( $T_{0} = 6000$ K hőmérsékletű) Nap teljes sugárzási veszteséget:

\begin{matrix} P (T = T_{0}) = P_{0} = 4 π {(1, 5 \cdot 10^{11} m)}^{2} \cdot 1400 \frac{W}{m^{2}} = 4 \cdot 10^{26} W . \end{matrix}

Ha a Nap hőmérséklete csökkenne, akkor a sugárzásának teljesítménye is csökkenne, méghozzá a Stefan‐Boltzmann-törvénynek megfelelő módon

\begin{matrix} P (T) = P_{0} \cdot {(\frac{T}{T_{0}})}^{4} . \end{matrix}

Ha az

m

tömegű Napot

T

hőmérsékletű hidrogéngáznak tekintjük, és belső energiáját az ideális gázra érvényes

E = m c_{V} T

képletből számítjuk, valamint a fajhőt a földi hőmérsékleteken érvényes

10 kJ/(kg K)

értékkel közelítjük (igen magas hőmérsékleteken ez biztosan nem helyes, hiszen a higrogéngáz ilyenkor egyre nagyobb mértékben disszociál), akkor a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} E (T) \approx 2 \cdot 10^{30} kg \cdot 10^{4} \frac{J}{kg K} \cdot T = K T . \end{matrix}

Ha a sugárzás erőssége nem csökkenne, akkor a

Δ T = 5000

K-nyi hőmérsékletcsökkenéshez szükséges

Δ t

idő a

\begin{matrix} P_{0} \cdot Δ t = K \cdot Δ T \end{matrix}

összefügésnek megfelelően

\begin{matrix} Δ t = \frac{K}{P_{0}} Δ T \approx \frac{2 \cdot 10^{34} \cdot 5000}{4 \cdot 10^{26}} s = 2, 5 \cdot 10^{11} s \approx 8000 év . \end{matrix}

Ez a meglepően kicsiny érték azonban ‐ még a megadott modell keretei között is ‐ csak durva közelítésnek tekinthető, hiszen a Nap hőmérsékletének csökkenésével a sugárzás intenzitása erősen csökken.
Számoljunk egy kicsit pontosabban! Határozzuk meg, hogy mennyi idő alatt csökkenne a Nap hőmérséklete 6000 K-ről mondjuk 5000 K-re, ha közben a sugárzásának erősségét állandónak (pl. az ,,átlagos'' 5500 K-nek megfelelő értéknek) tekintjük, majd tovább 5000 K-ről 4000 K-re és így tovább (mindegyik 1000 fokos szakaszon állandó, az adott szakasznak megfelelő átlagos teljesítménnyel számolva). Az eredmény kb.

500 000

év, ami (a mai tudásunk szerint helyesnek tekinthető 5 milliárd évhez képest) igen rövid idő, de az izzó szén modell jóslatánál (lásd a P. 3518. feladatot) 2 nagyságrenddel nagyobb.

(G. P.)

Megjegyzések. 1. Ha a hőmérséklet csökkenésének megfelelően mindig a pillanatnyi sugárzási teljesítménnyel számolunk (vagyis a fenti megoldásban szereplő ,,lépéseket'' minden határon túl finomítjuk), akkor a hűlési időt a következő integrállal adhatjuk meg:

\begin{matrix} t (T_{0} \to T_{1}) = - \frac{K}{P_{0}} T_{0}^{4} \int_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{d T}{T^{4}} = \frac{K, T_{0}}{3 P_{0}} (\frac{T_{0}^{3}}{T_{1}^{3}} - 1), \end{matrix}

melynek számértéke

T_{1} = 1000

K-nél kb.

700 000

év.
Ez az időtartam nem sokkal, nem egészen 4000 évvel lenne hosszabb, ha a hűlési folyamatot nem 6000 fokról, hanem tetszőlegesen nagy hőmérsékletről indítanánk. (A fenti integrálból ezt az időkülönbséget a

T_{1} \to \infty

határérték képzésével kaphatjuk meg.) Ez annyit jelent, hogy akármilyen forró is volt kezdetben a Nap, a jelenlegi 6000 K-es állapotára történő hűlése nem tarthatott tovább, mint 4000 év, a Nap kora tehát ‐ a vizsgált modell feltételei mellett ‐ nem lehet nagyobb 4000 évnél! Ez a múltra vonatkozó következtetés még sokkal meglepőbb, mint a Nap jövőjére adott jóslat, s nyilvánvalóan ellentmondásban áll a tényekkel.

Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn. 12. o.t.)

2. A megoldás során az egyszerűség kedvéért a Nap gravitációs ,,összeomlását'' nem vettük figyelembe. Részletesebb számításnál nyilván tekintetbe kellene vennünk a hőmérséklet csökkenésével együttjáró gáz- és fény-nyomásváltozást, melynek hatására a Nap mérete is megváltozik. Ennek következtében csökken a hőmérsékleti sugárzás képletében szereplő felület nagysága, másrészt lecsökken a Nap gravitációs energiája is.

Rakyta Péter (Révkomárom, Selye J. Gimn. 10. o.t.)
Vigh Máté (Pécs, PTE Babits M. Gyak. Gimn. 10. o.t.)