Kezdőlap


Feladat:	3530. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Béky Bence , Hettinger Tamás , Pápai Tivadar , Tábor Áron , Tóth Sándor
Füzet:	2002/november, 503 - 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáramú áramkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: 3530. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy $ω$ körfrekvenciájú váltóáram esetén egy $C$ kapacitású kondenzátoron eső feszültség nagysága és a rajta átfolyó áram nagysága között

\begin{matrix} \frac{U_{C}}{I_{C}} = \frac{1}{ω C} \end{matrix}

a kapcsolat (azaz a kondenzátor váltóáramú ellenállása

1 / (ω C

), továbbá a szinuszosan váltakozó áram fázisa a feszültséghez képest

90^{\circ}

-ot siet. Ugyanezek az arányok tekercsnél

\begin{matrix} \frac{U_{L}}{I_{L}} = L ω \end{matrix}

(vagyis egy

L

öninduktivitású tekercs váltóáramú ellenállása

L ω

), viszont a rajta átfolyó áram a feszültséghez képest

90^{\circ}

-ot késik, tehát éppen ellenkező előjelű, mint amilyen egy kondenzátornál lenne. Emiatt egy tekercs (adott frekvenciájú váltóáramú körben) úgy tekinthető, mintha negatív (bizonyos

C_{L} < 0

) kapacitású kondenzátor lenne:

\begin{matrix} L ω = - \frac{1}{ω C_{L}}, azaz C_{L} = - \frac{1}{ω^{2} L} . \end{matrix}

Célszerű bevezetni a

\begin{matrix} k^{2} = \frac{1}{ω^{2} L C} = {(\frac{ω_{0}}{ω})}^{2} \end{matrix}

jelölést. A dimenziótlan

k

szám azt mutatja meg, hogy egy-egy

L

és

C

elemből álló egyszerű rezgőkör

ω_{0}

körfrekvenciája hányszorosa lenne a feladatban szereplő (a lánc paramétereitől független, kívülről megszabott)

ω

körfrekcenciának.break Ezzel a jelöléssel a láncban szereplő tekercsek mindegyikének ,,effektív kapacitása''

C_{L} = - k^{2} C

.
Egy fizika feladatban a ,,végtelen lánc'' kifejezés értelemszerűen azt jelenti, hogy a lánc ,,nagyon hosszú'', elemeinek száma nagyon nagy. Tekintsük először egy véges,

n

hosszúságú (

n

tekercset tartalmazó) láncot! Mivel a lánc nem tartalmaz ohmos ellenállást, a rajta átfolyó áram és a rá eső feszültség közötti fáziseltolódás vagy

+ 90^{\circ}

, vagy

- 90^{\circ}

. Az egyik esetben a lánc helyettesíthető egy bizonyos

C_{n}

kapacitású kondenzátorral, a másik esetben pedig egy alkalmasan választott induktivitású tekerccsel. Tételezzük fel, hogy az előbbi eset áll elő, és határozzuk meg

C_{n}

értékét! (Ha

C_{n}

-re negatív szám adódna, az annyit jelent, hogy a lánc tekercsként viselkedik.)

n = 1

esetben egy

C

kapacitású kondenzátor és egy

L

induktivitású tekercs (vagyis egy másik,

C_{L}

kapacitású kondenzátor) soros eredőjét kell meghatároznunk:

\begin{matrix} \frac{1}{C_{1}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C_{L}}, ahonnan C_{1} = \frac{C C_{L}}{C + C_{L}} = \frac{C (- k^{2} C)}{C + (- k^{2} C)} = \frac{k^{2}}{k^{2} - 1} C . \end{matrix}

n = 2

esetben egy

C

kapacitású kondenzátor sorosan kapcsolódik egy tekercs és

C_{1}

párhuzamos eredőjéhez:

\begin{matrix} \frac{1}{C_{2}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C_{1} + (- k^{2} C)}, általában pedig \frac{1}{C_{n + 1}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C_{n} - k^{2} C}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} C_{n + 1} = \frac{C (C_{n} - k^{2} C)}{C_{n} + (1 - k^{2}) C} . \end{matrix}

(1)

Célszerű valamennyi kapacitást

C_{n} = x_{n} \cdot C

módon

C

egységekben kifejezni, mert akkor a fenti rekurziós formula a viszonylag egyszerű

\begin{matrix} x_{n + 1} = \frac{x_{n} - k^{2}}{x_{n} + 1 - k^{2}} \end{matrix}

(2)

alakot ölti.
Kérdés: van-e az

x_{n}

számsorozatnak (vagyis a

C_{n}

kapacitásértékeknek) határértéke, ha

n \to \infty

? Mondhatjuk azt, hogy ha

n ≫ 1

, akkor

x_{n} \approx x_{n + 1}

, és a (2) rekurziós összefüggés (a közelítőleg egyenlő

x_{n}

számértékeket

x

-szel jelölve) egy másodfokú egyenletre vezet:

\begin{matrix} x = \frac{x - k^{2}}{x + 1 - k^{2}}, vagyis x^{2} - k^{2} x + k^{2} = 0. \end{matrix}

(3)

Ennek az egyenletnek

k > 2

esetben két valós gyöke van:

\begin{matrix} x_{\pm} = \frac{k^{2}}{2} \pm \frac{k}{2} \sqrt[]{k^{2} - 4} . \end{matrix}

(4)

Vajon melyik gyök az ,,igazi'', vagy esetleg mindkettőnek lehet fizikai jelentése? (Erre utal a feladat szövegének második kérdése.) És mi a helyzet akkor, amikor

ω > \frac{1}{2 \sqrt[]{L C}} = \frac{ω_{0}}{2}

, vagyis

k < 2

, tehát (3)-nak egyetlen (valós) gyöke sincs?
Gyanítható, hogy (4)-ben szereplő gyökök közül a kisebb

x_{-}

a ,,helyes''. Ha ugyanis olyan tekercset választunk, amelyre

L

nagyon kicsi (vagyis

ω_{0} ≫ ω

), akkor a tekercsek rövidzárként viselkednek, az

A

és

B

pontok közötti eredő váltóáramú ellenállás tehát egyetlen

C

kapacitású kondenzátoréval egyezik meg. Valóban,

k ≫ 1

esetben

x_{-} \approx 1

, tehát az

A

és

B

pontok közötti eredő váltóáramú ellenállás

\frac{1}{ω C}

, viszont

x_{+} \approx k^{2} ≫ 1

nem felel meg fenti várakozásnak.

1. ábra

Vizsgáljuk meg a kérdést más oldalról is! Térjünk vissza a (2) rekurziós összefüggéshez! Ábrázoljuk az

x_{n + 1} = f (x_{n})

függvényt egy derékszögű koordináta-rendszerben, és rajzoljuk be ugyanebbe az

x_{n + 1} = x_{n}

egyenes képét is! Ha

k > 2

, a rekuzciós összefüggésnek megfelelő görbének (hiperbola) és a

45^{\circ}

-os egyenesnek két közös pontja van (1. ábra), a korábban kiszámított

x_{-}

-nak megfelelő

S

, valamint az

x_{+}

-nak megfelelő

I

2. ábra

Induljunk ki

x_{1}

ismert értékéből (vagy bármilyen más módon választott

x_{1}

számból), majd a hiperbola és az egyenes segítségével grafikusan határozzuk meg az

x_{2}

x_{3}

x_{4}

stb. pontokat (2. ábra). Látható, hogy ezek igen gyorsan befutnak az

S

pontnak (az ún. stabil fixpontnak) megfelelő

x_{-}

-ba. Ha a kezdeti

x_{1}

értéket

x_{-}

közelébe (attól tetszés szerintien kicsi, de véges távolságra) választjuk, az iteráció eredményeképpen adódó pontok gyors ütemben eltávolodnak

x_{-}

-tól; az iteráció

I

fixpontja tehát instabil (3. ábra). A fixpontok stabilitásának az a feltétele, hogy az iterációs függvény meredekségének abszolút értéke a fixpontban kisebb legyen, mint a

45^{\circ}

-os egyenesé; ez

S

-re teljesül,

I

-re viszont nem.

3. ábra

Mindez azt mutatja, hogy a

ω < 1 / (2 \sqrt[]{L C})

körfrekvencián ,,végtelen lánc'' eredő váltóáramú ellenállása ‐ a távoli végének lezárásától, tehát

x_{1}

számértékétől függetlenül ‐ csak egy jól meghatározott érték lehet:

\begin{matrix} Z_{lánc} = \frac{1}{ω x_{-} C} = \frac{1 + \sqrt[]{1 - 4 ω^{2} L C}}{2 ω C} . \end{matrix}

4. ábra

Mi a helyzet

\begin{matrix} ω > \frac{1}{2 \sqrt[]{L C}} = \frac{ω_{0}}{2} \end{matrix}

esetben? Ilyenkor a (2) iterációnak nincs fixpontja (vagyis a hiperbolának és a

45^{\circ}

-os egyenesnek nincs közös pontja) (4. ábra). Ebben az esetben a

x_{n}

számsorozatnak nincs határértéke, tehát a hosszú (de nem végtelen hosszú!) lánc váltóáramú ellenállása attól függ, hogy ténylegesen milyen hosszú is a ,,nagyon hosszú''.
A feladat jól tárgyalható a komplex impedanciák segítségével is. Ezekkel felírva a (2)-nek megfelelő rekurziós összefüggést, majd keresve ennek fixpontját azt kapjuk, hogy a végtelen lánc eredő impedanciája

ω > \frac{1}{2 \sqrt[]{L C}}

esetben ohmos részt is tartalmaz. Ez azért meglepő, mert akármilyen hosszú, de véges sok (ideális) tekercsből és kondenzátorból álló láncnak csak meddő ellenállása van (impedanciája tisztán kapacitív, vagy tisztán induktív). Érdekes, hogy a lánc impedanciája

ω > ω_{0} / 2

esetben

ω

-tól független mennyiség, nevezetesen

Z = \sqrt[]{L / C}

. (Ezt a mennyiséget a lánc ,,hullámellenállásának'' nevezik.)
A végtelen lánc ohmos ellenállásának megjelenése a lánc mentén jobbra, illetve balra terjedő hullámokkal áll kapcsolatban, ezek diszkussziója azonban hosszabb elemzést igényelne.

Béky Bence (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn. 12. o.t.),
Hettinger Tamás (Budapest, Eötvös J. Gimn. 11. o.t.),
Pápai Tivadar (Barcs, Dráva Völgye Középisk. 12. o.t.),
Tábor Áron (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn. 11. o.t.) és
Tóth Sándor (Csongrád, Batsányi J. Gimn. 11. o.t.)
dolgozatának felhasználásával