Kezdőlap


Feladat:	3540. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szekeres Balázs
Füzet:	2002/október, 438 - 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A Föld mozgásával kapcsolatos jelenségek, Egyenletes körmozgás, Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: 3540. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A SOHO a Nap és a Föld között helyezkedik el, a Nap körül kering a Földdel egyező szögsebességgel. A centripetális erő a Nap és a Föld által kifejtett gravitációs erő eredője (a többi égitest hatásától eltekintünk). A mozgásegyenlet:

\begin{matrix} m (R - r) ω^{2} = f \frac{m M_{N}}{{(R - r)}^{2}} - f \frac{m M_{F}}{r^{2}}, \end{matrix}

(1)

ahol

R

a Nap-Föld távolság,

r

a SOHO Földtől mért távolsága. Felírhatjuk még a Föld mozgásegyenletét:

\begin{matrix} M_{F} R ω^{2} = f \frac{M_{N} M_{F}}{R^{2}} . \end{matrix}

(2)

A fenti két egyenlet hányadosa

\begin{matrix} \frac{(R - r)}{R} = \frac{R^{2}}{{(R - r)}^{2}} - \frac{R^{2}}{r^{2}} \frac{M_{F}}{M_{N}}, \end{matrix}

ami az

x = r / R

és

μ = M_{F} / M_{N}

jelölésekkel

\begin{matrix} x^{2} - {(1 - x)}^{2} μ = {(1 - x)}^{3} x^{2} . \end{matrix}

(3)

Ez az

x

-ben ötödfokú egyenlet, amely (

μ

konkrét számértékét behelyettesítve) számítógéppel, vagy grafikusan közelítőleg megoldható. A

0 < x < 1

tartományban egyetlen megoldás van:

\begin{matrix} x \approx 0, 01, azaz r \approx 1, 5 \cdot 10^{6} km. \end{matrix}

Úgy is eljárhatunk, hogy a (3) egyenletet algebrai átalakításokkal

\begin{matrix} μ = 3 x^{3} [1 + \frac{3 x - 2 x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}] \end{matrix}

(4)

alakra hozzuk, majd kihasználjuk, hogy a Föld tömege sokkal kisebb, mint a Nap tömege, nevezetesen

\begin{matrix} μ = 3, 01 \cdot 10^{- 6} ≪ 1. \end{matrix}

Emiatt

x

is 1-nél sokkal kisebb szám kell legyen, tehát a szögletes zárójelben levő tört kifejezés az 1 mellett jó közelítéssel elhanyagolható. Ekkor viszont az egyenlet

\begin{matrix} μ \approx 3 x^{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x \approx \sqrt[3]{μ / 3}, azaz r \approx R \sqrt[3]{M_{F} / 3 M_{N}} = 1, 5 \cdot 10^{6} km . \end{matrix}

A SOHO ugyan a Nap és a Föld között helyezkedik el, létezik azonban a Nap-Föld egyenesen még 2 pont, ami megfelelő lenne. Az egyik ilyen pont a Földnek a Nappal ellentétes oldalán van, a Földtől

r \approx 1, 5 \cdot 10^{6} km

távolságban, a másik pedig a Napnak a Földdel ellentétes oldalán a Naptól kb.

R

, vagyis a Földtől

r \approx 2 R

távolságra. Ez a két pont a napkitöréseket észlelő műholdak szempontjából nyilván érdektelen.

Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A mozgásegyenlet megoldása során lehet kevésbé jó közelítést is végezni. Az (1) egyenlet

\begin{matrix} m r ω^{2} = f \frac{m M_{F}}{r^{2}} + f \frac{m M_{N}}{R^{2}} - f \frac{m M_{N}}{{(R - r)}^{2}} \end{matrix}

(5)

alakra is hozható. A jobb oldal második és harmadik tagja

r ≪ R

esetén egymástól nem sokban különbözik, ezért arra gondolhatnánk, hogy egymást majdnem kiejtik. Ha elhagyjuk ezt a két tagot, akkor lényegében azt a gondolatmenetet követjük, hogy a SOHO tulajdonképpen a Föld körül kering

ω

szögsebességgel, és a Nap hatása a műholdra elhanyagolható. A várt

1 %

-os hiba helyett azonban mintegy

40 %

-os hibával kapjuk csak meg az eredményt. Ennek az az oka, hogy (5) jobb oldalának utolsó két tagja valóban majdnem kiejti egymást, de

M_{N} ≫ M_{F}

miatt az egyikükhöz vagy másikukhoz képest kicsiny különbségük azonos nagyságrendű a jobb oldal első tagjával.
2. A megoldásban tárgyalt három ,,egyensúlyi'' pont öt nevezetes pont, az ún. Lagrange-pontok közé tartozik. Ezek bármelyikében a Földhöz és a Naphoz képest kicsiny tömegű test a Föld keringésével együtt forgó vonatkoztatási rendszerből nézve egyensúlyban lenne. A negyedik és az ötödik Lagrange-pont annak a két szabályos háromszögnek harmadik csúcsa, amelyek a Föld keringési síkjában vannak, és egyik oldaluk a Nap-Föld szakasz. Érdekes, hogy csak ez a két utóbbi stabil egyensúlyi pont, az előző három instabil. Ez azt jelenti, hogy a stabil egyensúlyi helyzetből kicsit kimozduló test visszatér oda, vagy az egyensúlyi pont közelében periodikus mozgást végez. Az instabil pontokból kimozduló test viszont ‐ ha egyéb erő nem hat rá ‐ egyre jobban eltávolodik onnan. A stabil Lagrange-pontokban ténylegesen megfigyelhető az ott összegyűlt ,,kozmikus törmelék'', a SOHO-nak viszont ‐ mivel instabil Lagrange-pontban tartózkodik ‐ állandóan korrigálni kell a pályáját, ha azt akarjuk, hogy hosszabb ideig ott maradjon.

(G. L.)