Kezdőlap


Feladat:	3474. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szekeres Balázs
Füzet:	2002/október, 434 - 435. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontszerű elektromos töltés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: 3474. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Thalész-tétel szerint a kérdéses $P$ pontot a töltésekkel összekötő szakaszok egymásra merőlegesek, hosszuk pedig

\begin{matrix} a = d cos α, illetve b = d sin α . \end{matrix}

Az elektromos potenciál a

P

pontban a ponttöltések potenciáljából szuperponálható. Mivel a potenciál skalár mennyiség, a szuperpozíció ebben az esetben skalár összeadást jelent:

\begin{matrix} U = U_{a} + U_{b} = \frac{k Q}{a} + \frac{k Q}{b} = \frac{k Q}{d} (\frac{1}{cos α} + \frac{1}{sin α}) . \end{matrix}

Az elektromos térerősség vektormennyiség, ami az egyes ponttöltések

E_{a}

illetve

E_{b}

térerősségének vektori összegeként áll elő. Mivel a ponttöltések elektromos erőtere centrális,

E_{a}

és

E_{b}

merőleges egymásra, eredőjük (vektori összegük) nagysága a Pitagorasz-tétel segítségével számítható:

\begin{matrix} | E | = | E_{a} + E_{b} | = \sqrt[]{E_{a}^{2} + E_{b}^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{k Q}{a^{2}})}^{2} + {(\frac{k Q}{b^{2}})}^{2}} = \frac{k Q}{d^{2}} \sqrt[]{\frac{1}{cos^{4} α} + \frac{1}{sin^{4} α}} . \end{matrix}

A kérdéses arány:

\begin{matrix} \frac{| E |}{U} = \frac{1}{d} \frac{\sqrt[]{sin^{4} α + cos^{4} α}}{sin α cos α (sin α + cos α)}, \end{matrix}

ami még sok más alakban is felírható, például így:

\begin{matrix} \frac{| E |}{U} = \frac{1}{d} \frac{\sqrt[]{{tg}^{2} α + {ctg}^{2} α}}{sin α + cos α} . \end{matrix}

Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A kiszámított arány, amely semmiféle szemléletes, vagy hasznos fizikai jelentéssel nem rendelkezik, a

0 < α < π / 4

intervallumban szigorúan monoton csökkenő, a

π / 4 < α < π / 2

intervallumban szigorúan monoton növekvő függvény. Legkisebb értékét az

α = π / 4

helyen veszi fel, ott

1 / d

a nagysága, értelmezési tartományának szélein pedig végtelenhez tart.