Kezdőlap


Feladat:	3453. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jesch Dávid
Füzet:	2002/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: 3453. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A törés-törvény szerint (az ábra jelöléseivel)

\begin{matrix} \frac{sin β}{sin α} = n . \end{matrix}

a)

d

maximális értéke (

d_{{max}_{}^{}}

) mellett az

A B

fénysugár érintőleges, azaz

β = 90^{\circ}

, így

sin α = 1 / n

b)

sin α = d_{{max}_{}^{}} / R

, innen

n = R / d_{{max}_{}^{}}

. A megadott

n

mellett

d_{{max}_{}^{}} = 3, 55

cm.

c)

Általános esetben az

O B

szakasz

f

hossza

\begin{matrix} f = R (cos α + \frac{sin α}{tg (β - α)}) \end{matrix}

A szélső estben

β = 90^{\circ}

, ebből

\begin{matrix} f_{{min}_{}^{}} = \frac{R}{cos α} = R \frac{n}{\sqrt[]{n^{2} - 1}} = 7, 1 cm . \end{matrix}

d

tart nullához, minden szög kicsi, így

sin β \approx β

cos β \approx 1

tg (β - α) \approx (β - α)

, és

β / α \approx n

, tehát

\begin{matrix} f_{{max}_{}^{}} = R \frac{n}{n - 1} = 17, 1 cm . \end{matrix}

Belátható, hogy

f

monoton csökkenő függvénye

d

-nek, tehát

d

változtatásakor az

O B

szakasz hossza e két határ közötti értékeket vesz fel.

Több megoldás alapján

II. megoldás. Számítsuk ki

f

-et tetszőleges

α

esetére! Az

O A B

háromszögre felírhatjuk a szinusz-tételt:

\begin{matrix} \frac{O B}{A B} = \frac{sin β}{sin α} = n, \end{matrix}

(felhasználtuk a törési törvényt is), ahonnan

\begin{matrix} A B = \frac{f}{n} . \end{matrix}

Másrészt a koszinusz-tétel szerint

\begin{matrix} f^{2} + R^{2} - 2 R f cos α = \frac{f^{2}}{n^{2}} . \end{matrix}

Ezt a másodfokú egyenletet megoldva (és a számunkra fontos nagyobb gyököt választva) a keresett

O B

távolság:

\begin{matrix} f (α) = R \frac{n^{2}}{n^{2} - 1} (cos α + \sqrt[]{cos^{2} α - \frac{n^{2} - 1}{n^{2}}}) . \end{matrix}

Ez a függvény

cos α

-nak monoton növekvő,

α

-nak tehát monoton csökkenő függvénye.

f

legkisebb értékét a legnagyobb olyan

α_{{max}_{}^{}}

szögnél veszi fel, melyre

sin β \leq 1

, vagyis

sin α_{{max}_{}^{}} = 1 / n

-nél. Itt

\begin{matrix} f = f_{{min}_{}^{}} = R \frac{n}{\sqrt[]{n^{2} - 1}} = 7, 1 cm . \end{matrix}

f

legnagyobb értékét (pontosabban felső korlátját)

α \to 0

határesetben kapjuk, ekkor

\begin{matrix} f \to f_{{max}_{}^{}} = R \frac{n^{2}}{n^{2} - 1} \cdot (1 + \frac{1}{n}) = R \frac{n}{n - 1} = 17, 1 cm . \end{matrix}

Jesch Dávid (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., 12. o.t.) megoldása alapján

III. megoldás. Az ábra síkjában az optikai tengelyhez közel haladó fénysugarak az üveg határfelületén éppen úgy törnek meg, mint ahogy egy planparalel lemezen, majd egy síkdomború vékony lencsén való áthaladásukkor tennék. A planparalel lemez nem változtatja meg a sugarak irányát, a lencse viszont fókuszálja, az optikai tengelynek a lencsétől

R / (n - 1)

távolságban levő pontjára képezi le azokat. Ha ehhez a távolsághoz hozzáadjuk a henger sugarát, megkapjuk az

O B

távolságot a vizsgált határesetben.

(G. P.)

Megjegyzés. Sok megoldó úgy vélte, hogy az

O B

távolságnak nincs felső határa, vagyis hogy a tengelyhez közel érkező fénysugarak tetszőlegesen távoli pontban metszhetik az optikai tengelyt. A részletes számításokból az látszik, hogy ez téves ,,megérzés'' volt.