Kezdőlap


Feladat:	3432. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Börzsönyi Ádám , Hajna Zsófia , Mics Zoltan , Nagy Ádám , Pápai Tivadar , Raffai Péter
Füzet:	2002/március, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Időben állandó elektromos mező (elektrosztatika), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: 3432. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamilyen elrendezésben a töltések egyensúlyban vannak a fémgömbökön, akkor valamennyi töltést arányosan (mondjuk $λ$ -szorosan) megnövelve ismét egyensúlyi elrendezést kapunk, amelyben a térerősségek és a potenciálkülönbségek mindenhol az eredeti értékek $λ$ -szorosai. Az is igaz, hogy két egyensúlyi töltéselrendezést összeadva ismét egyensúlyi töltéselrendezést kapunk, és ebben a térerősségek, illetve a potenciálok bármely helyen az ottani eredeti értékek vektori, illetve skalár összege. A fenti két tulajdonságot együtt szuperponálhatóságnak hívják.
Nevezzük az első (egyetlen töltött gömbnek megfelelő) töltéselrendezést I-nek, a másodikat (amikor $A$ és valamelyik másik gömb töltött) II-nek! Forgassuk el a II-es elrendezést az $A$ gömb középpontját és a tetraéder középpontját összekötő egyenes körül $120^{\circ}$ -kal (legyen ez a III elrendezés), illetve $- 120^{\circ}$ -kal (IV-es elrendezés)!

Képezzük ezek után az I-es állapot

λ_{1}

-szeresének, illetve a II-es és III-as állapotok

λ_{2}

-szeresének a szuperpozícióját, és válasszuk a szuperpozíció együtthatóit úgy, hogy három egyforma töltésű gömbünk legyen, továbbá az

A

gömb potenciálja éppen ugyanakkora (

U

) maradjon, mint az I-es állapotban volt. Ez a két feltétel akkor teljesül, ha fennáll

\begin{matrix} 20 λ_{1} + 15 λ_{2} + 15 λ_{2} = 15 λ_{2}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} λ_{1} U + λ_{2} U + λ_{2} U = U . \end{matrix}

A fenti egyenletrendszer megoldása:

λ_{1} = - \frac{3}{5}

λ_{2} = \frac{4}{5}

, és ennek megfelelően a szuperpozícióban a három töltött gömb mindegyike 12 nC töltéssel rendelkezik.
Hasonló módon, az I-es elrendezés és a

I I + I I I + I V

-es állapot megfelelő szuperpozíciójával elérhető, hogy mind a négy gömb töltése ugyanakkora legyen, az

A

gömb potenciálja pedig

U

. A gömbök töltése ilyenkor 10 nC.

Pápai Tivadar (Barcs, Dráva Völgye Középisk., 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Ha a gömbök távolsága sokkal nagyobb lenne, mint a sugaruk, akkor az elektromos terüket a pontszerű töltés közelítésében számíthatnánk. Jelen esetben (a megadott számadatokkal) ez nem teljesül, a gömbök mérete és a távolságuk összemérhető, emiatt egymást erősen polarizálják. A töltéseloszlások és az elektromos mező csak nagyon bonyolult módon számítható ki, de szerencsére ezekre ‐ a fenti gondolatmenetet követve ‐ nincs szükség.