Kezdőlap


Feladat:	3396. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóka Gergely , Török Edwin
Füzet:	2002/február, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: 3396. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a lejtő hosszát $ℓ$ -lel, hajlásszögét pedig $α$ -val. ( $sin α = h / ℓ$ ). Az $A$ test $g sin α$ gyorsulással mozog a lejtő mentén, és mivel

\begin{matrix} v_{A} = \sqrt[]{2 g h} \end{matrix}

(1)

sebességgel érkezik a lejtő aljára, mozgásának ideje

\begin{matrix} t_{A} = \frac{2 ℓ}{v_{A}} = \frac{2 ℓ}{\sqrt[]{2 g h}} = \frac{1}{sin α} \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} . \end{matrix}

(2)

Vizsgáljuk most az elhajított testet! Ha

β

-val jelöljük a kezdősebességének a vízszintessel bezárt szögét, akkor a

B C

szakasz hossza (a hajítás távolsága)

\begin{matrix} d = \frac{v_{B}^{2}}{g} sin 2 β, \end{matrix}

(3)

ahol

v_{B}

a test kezdősebessége. Ez a kezdősebesség megegyezik a becsapódás sebességével, az pedig a feladat szövege szerint az (1)-ben szereplő

v_{A}

-val egyenlő. Másrészt viszont

\begin{matrix} d tg α = h, \end{matrix}

amit (3)-mal és (1)-gyel összevetve a

\begin{matrix} 2 tg α \cdot sin 2 β = 1 \end{matrix}

(4)

összefüggést kapjuk.
A

B

test vízszintes irányú sebessége

v_{B} cos β

, míg az

A

test vízszintes irányú átlagsebessége

\frac{1}{2} v_{A} cos α

. Mivel mindkét test ugyanannyi idő alatt teszi meg a

B C

vízszintes távolságot, a két átlagsebesség meg kell egyezzen:

\begin{matrix} \frac{1}{2} cos α = cos β . \end{matrix}

(5)

A (4) egyenlet (5) felhasználásával

\begin{matrix} 2 sin α \cdot sin β = 1 \end{matrix}

(6)

alakba is írható. Fejezzük ki (6)-ból

sin β

-t, majd négyzetre emelve adjuk hozzá (5)-ből kiszámított

cos^{2} β

-hoz:

\begin{matrix} \frac{1}{4 sin^{2} α} + \frac{1}{4} cos^{2} α = 1, \end{matrix}

ahonnan a

\begin{matrix} cos^{4} α - 5 cos^{2} α + 3 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Ez

cos^{2} α

-ra nézve másodfokú egyenlet, melynek megoldása

\begin{matrix} cos^{2} α = \frac{5 - \sqrt[]{13}}{2}, α \approx 33, 38^{\circ} . \end{matrix}

(A pozitív előjel 1-nél nagyobb számot adna

cos^{2} α

-ra!)
Látható, hogy a feladatban szereplő két feltétel (a becsapódási sebességek nagyságának és a két test mozgásidejének egyenlősége) egyértelműen meghatározza a lejtő hajlásszögét, és ezzel együtt a lejtő hosszát is:

\begin{matrix} ℓ = \frac{h}{sin α} \approx 1, 82 m. \end{matrix}

Bóka Gergely (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 10. o.t.) és
Török Edwin (Temesvár, Bartók B. Líceum, 9. o.t.) dolgozata alapján