Feladat: B.3556 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árva Zoltán ,  Backhausz Ágnes ,  Balogh Tamás ,  Baráth Géza ,  Bartha Ferenc ,  Bartolits Dániel ,  Bergmann Gábor ,  Bisztray Márta ,  Bóka Gergely ,  Buti Tamás ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Gehér György ,  Gyarmati Ákos ,  Hartmann Zoltán ,  Hegyi Gábor ,  Herczegh Attila ,  Horváth Márton ,  Hudáky Zsuzsanna ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komjáthy Júlia ,  Kovács András ,  Kovács Dóra Judit ,  Kovács Levente ,  Nagy Szabolcs ,  Oláh Zsolt ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Reiss Attila ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalai Erika ,  Tábor Áron 
Füzet: 2002/december, 547 - 548. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszög nevezetes körei, Háromszögek szerkesztése, Szögfelező egyenes, Külső szög tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3556

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak.

 
 

1. ábra
 

Jelöljük a háromszög csúcsait A, B, C-vel, oldalait a szokásos módon a, b, c-vel, messe a C csúcshoz tartozó külső szögfelező az AB egyenest D-ben, legyen DA=x és DC=f (1. ábra). A külső szögfelezőre vonatkozó tétel szerint (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 1251. feladat) x=bca-b, vagyis x:c=b:(a-b). A b:(a-b) arány, s így x és c aránya is csak az a:b aránytól függ, mert ba-b=1ab-1.
 
 

2. ábra
 

Ezek alapján a szerkesztés a következő. Az adott a és b oldalak és az f szögfelező ismeretében először szerkesztünk egy tetszőleges olyan KLM háromszöget, amelyben LM=a és MK=b (az oldalak jelölését válasszuk úgy, hogy a≥b teljesüljön). Ezután megszerkesztjük a KLM háromszög M-hez tartozó külső szögfelezőjének és KL oldalegyenesének P metszéspontját (2. ábra). Ekkor PK:KL=b:(a-b)==DA:AB. A PK szakasz fölé f:b arányú, a KL szakasz fölé pedig b:a arányú Apollóniusz kört szerkesztünk, a két kör PKL egyenesre szimmetrikus metszéspontjainak egyikét pedig R-rel jelöljük. Az így kapott KLR háromszög hasonló a szerkesztendő ABC háromszöghöz, mert megfelelő oldalaik aránya megegyezik. Ezért a KLR háromszöget a:LR arányban nagyítva (kicsinyítve) kapjuk a szerkesztendő háromszöget.
A feladatnak nincs megoldása, ha a=b (ekkor a külső szögfelező egyenese nem metszi a szemközti oldalt). Ha a≠b, akkor a megoldások száma 1 vagy 0, attól függően, hogy a két Apollóniusz kör metszi egymást, vagy sem.
Kovács Dóra Judit (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján