Kezdőlap


Feladat:	C.676	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Illés Evelin , Szegő Márton
Füzet:	2002/december, 532 - 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Téglalapok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: C.676

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $E B$ oldal $B$ -hez közelebbi harmadoló pontja $C$ , a másik harmadoló pont $D$ . Jelöljük a $B A C$ , $B A D$ , $B A E$ szögeket rendre $α$ -val, $β$ -val és $γ$ -val.

A B C

háromszög nyilván derékszögű és egyenlő szárú, ezért

α = 45^{\circ}

.
Az

A B D

háromszögből

tg β = 2

, az

A B E

háromszögből

tg γ = 3

.
Ismeretes, hogy

tg (β + γ) = \frac{tg β + tg γ}{1 - tg β tg γ}

. Helyettesítsük az összefüggésbe

tg β

és

tg γ

kapott értékeit:

\begin{matrix} tg (β + γ) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{- 5} = - 1. \end{matrix}

(1)

Mivel

β + γ < 180^{\circ}

, (1) miatt

β + γ = 135^{\circ}

. Ebből pedig már következik az állítás, vagyis

α + β + γ = 180^{\circ}

Illés Evelin (Siófok, Perczel Mór Gimn., 9. évf.)

II. megoldás. Az

A B E F

téglalap mellé rajzoljuk meg (az ábra szerint) az

A B D' F'

(2 egység alapú) téglalapot, továbbá az

A B E F

téglalappal egybevágó

A' B' E F''

téglalapot. Az ábráról leolvasható, hogy

A E = A' E

, és

\begin{matrix} B E A ∢ + F'' E A' ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy az

A E A'

háromszög derékszögű és egyenlő szárú, így

E A A' ∢ = 45^{\circ}

Mivel a

D' A' F''

háromszöget a

D' A B

háromszögnek a

D'

pontból történt 3-szoros nagyításával kaphatjuk meg, a

D'

A

A'

pontok egy egyenesen vannak, azaz

\begin{matrix} D' A B ∢ + B A E ∢ + E A A' ∢ = 180^{\circ}, \end{matrix}

D' A B ∢ = B A D ∢

és

B A C ∢ = E A A' ∢ = 45^{\circ}

. Ebből a feladat állítása következik.

Szegő Márton (Budapest, Jedlik Ányos Gimn., 10. évf.)