A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A vizsgált kifejezés szimmetrikus, így felírható és polinomjaként. Valóban: | | Mivel , azért | |
Ha =1, akkor az szorzat értékkészlete a intervallum, ugyanis az egyenletrendszerből kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa , az egyenletrendszernek akkor és csak akkor van valós megoldása, ha .
1. ábra Az feltétel esetén tehát a kétváltozós polinom értékkészlete az intervallumon megegyezik az függvény értékkészletével (1. ábra). A valós számok halmazára kiterjesztett függvény a helyen veszi föl az abszolút maximumát és ez az érték . Mivel , azért ennyi az intervallumon értelmezett függvény maximuma, tehát a szóban forgó legnagyobb értéke is az feltétel esetén.
Pálinkás Csaba (Szolnok, Verseghy F. Gimn. 9. évf.) |
Megjegyzések. 1. A megoldók többsége az kifejezést az =1 feltételt felhasználva alakba írta. Több mint 100 dolgozatban ezek után minden további nélkül olyasmi szerepelt, hogy eszerint a keresett maximum értéke . Ez csak akkor igaz, ha az összeg első tagja, fölveszi a 0 értéket, azaz van olyan és , melyek összege 1, szorzatuk pedig . A megoldásból ez kiderül, bár ott ezeket az értékeket nem számoltuk ki. Az egyenletrendszer megoldásával nyomban adódnak a változóknak azok az értékei, amelyekre maximális: 2. A feladat eredménye szerint ha =1, akkor . Ebben a formában arra a ritkább jelenségre láthatunk példát, amikor egy szimmetrikus egyenlőtlenségben nem a változók egyenlő értékeire kapjuk a maximumot. II. megoldás. A feladatot a differenciálszámítás alkalmazásával oldjuk meg. Az eredetileg kétváltozós függvényt az helyettesítéssel egyváltozós polinommá írhatjuk: Írjuk föl a függvény deriváltját, majd a hatványozás elvégzése után rendezzük a polinomot: | | Az eredeti kétváltozós polinom szimmetrikus, így teljesül, hogy . A deriváltra nézve innen adódik, azaz és így következik. Ennek alapján a derivált szorzattá alakítható: | |
A másodfokú tényezőnek két valós gyöke van, és . Jegyezzük meg, hogy miatt . Mivel a harmadfokú -nek három különböző valós gyöke van és a főegyütthatója negatív, a grafikonja fölvázolható: (2. ábra). A grafikonról leolvasható a derivált előjele, és így az is, hogy -nek két lokális maximuma van: -ben és -ben. Azt már láttuk, hogy ezek a maximumok egyenlők és mivel szigorúan monoton növő, ha és szigorúan monoton fogyó, ha , azért ez a közös érték, a függvény abszolút maximuma.
2. ábra
3. ábra
Szilágyi Péter (Debrecen, Kossuth L. Gyak. Gimn. 10. évf.) |
Megjegyzés. A fenti vizsgálatból az is kiderül, hogy -nek lokális minimuma van, ha ; ennek értéke . Az függvény grafikonja a 3. ábrán látható. |
|