Kezdőlap


Feladat:	C.665	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/november, 482. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: C.665

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a számláló és nevező is két jegyet tartalmaz, akkor a tört értéke $\frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ .
Tegyük fel, hogy $n$ -jegyű számláló ‐ és nevező ‐ esetén is $\frac{1}{4}$ a tört értéke. Jelöljük a számláló első $n$ jegyéből álló számot $A$ -val, ekkor az $(n + 1)$ jegyű számláló értéke $10 A + 6$ . Az $n$ jegyű nevezőt jelölje $B$ , így az $(n + 1)$ jegyű nevező értéke $10 B + 24$ , és $\frac{A}{B} = \frac{1}{4}$ miatt $B = 4 A$ . Ezt behelyettesítve az új tört a következő: $\frac{10 A + 6}{10 B + 24} = \frac{10 A + 6}{40 A + 24} = \frac{10 A + 6}{4 \cdot (10 A + 6)} = \frac{1}{4} .$ A tört értéke tehát $(n + 1)$ jegyre is $\frac{1}{4}$ , ezért mindig ennyi.

II. megoldás. Jelölje

k

a számlálóban és a nevezőben található 6-os számjegyek közös számát. Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} \bar{166 ... 6} & = 10^{k} + 6 \cdot (1 + 10 + ... + 10^{k - 1}) = 10^{k} + 6 \cdot \frac{10^{k} - 1}{10 - 1} = \\ = 10^{k} + \frac{2}{3} (10^{k} - 1) = \frac{5}{3} 10^{k} - \frac{2}{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóan,

\begin{matrix} \begin{matrix} \bar{66 ... 64} & = 60 \cdot (1 + 10 + ... + 10^{k - 1}) + 4 = 60 \frac{10^{k} - 1}{9} + 4 = \\ = \frac{20}{3} 10^{k} - \frac{8}{3} = 4 (\frac{5}{3} 10^{k} - \frac{2}{3}), \end{matrix} \end{matrix}

tehát a tört értéke ‐

k

értékétől függetlenül ‐

\frac{1}{4}