Kezdőlap


Feladat:	C.666	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/november, 482 - 483. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: C.666

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A másodfokú polinom legyen $P (x) = a x^{2} + b x + c$ . Helyettesítsük be az $x = 0,1, - 1$ értékeket:

\begin{matrix} P (0) = c, P (1) = a + b + c, P (- 1) = a - b + c . \end{matrix}

P

minden egész helyen 3-mal osztható értéket vesz fel, így

P (0) = c

miatt

3 ∣ c

.
Most tekintsük a

P (1) - P (- 1)

különbséget:

\begin{matrix} P (1) - P (- 1) = a + b + c - (a - b + c) = 2 b . \end{matrix}

Mivel

3 ∣ P (1)

és

3 ∣ P (- 1)

, azért a különbségük is osztható 3-mal, vagyis

3 ∣ b

, és

3 ∣ P (1)

miatt végül

3 ∣ a

is teljesül.