Kezdőlap


Feladat:	C.664	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Annamária
Füzet:	2002/november, 481. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Pont és egyenes távolsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: C.664

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két parabola tükrös az $y = x$ egyenletű egyenesre. Az $y = x^{2} + 1$ parabolának az $y = x$ egyenletű egyenessel párhuzamos $e$ érintőjének iránytangense: 1, egyenlete: $y = x + b$ .

E

érintési pontban a két függvény értéke megegyezik:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + 1 = x + b, innen \\ x^{2} - x + (1 - b) = 0. \end{matrix} \end{matrix}

A másodfokú egyenletnek egy gyöke van, ha a diszkriminánsa 0:

D = 1 - 4 (1 - b)

, innen

b = \frac{3}{4}

, az érintő egyenlete tehát

y = x + \frac{3}{4}

.
Számítsuk ki az

E

érintési pont koordinátáit:

x^{2} + 1 = x + \frac{3}{4}

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0

;

x = \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

.
Elegendő az

E (\frac{1}{2}, \frac{5}{4})

pontnak az

y = x

egyenestől való távolságát meghatározni, ennek kétszerese egyenlő a párhuzamos érintők távolságával. Állítsunk az

E

ponton át merőleges egyenest az

y = x

egyenesre. Ennek egyenlete:

y - \frac{5}{4} = - (x - \frac{1}{2})

, rendezve:

y = - x + \frac{7}{4}

, az

y = x

egyenessel való

M

metszéspontjának koordinátái:

M (\frac{7}{8}, \frac{7}{8})

. Az

E

és

M

pontok távolsága:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(\frac{7}{8} - \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{7}{8} - \frac{5}{4})}^{2}} = \frac{1}{8} \sqrt[]{18} = \frac{3}{8} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

a két érintő távolsága

d = \frac{3 \sqrt[]{2}}{4}

Fehér Annamária (Budapest, Szt. István Gimn., 9. évf.)