A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a négyszög csúcsait az 1. ábrán látható módon , , , -vel, az oldal felezőpontja legyen , az oldalé pedig . Legyen -nek a szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe , -nek az szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe pedig . Ekkor a és az négyszögek paralelogrammák. Ezért párhuzamos és egyenlő -fel, pedig párhuzamos és egyenlő -fel. Viszont a szakasz felezőpontja, tehát párhuzamos és egyenlő -val, azaz a négyszög is paralelogramma. Ezért átlójának felezőpontja a átlóját is felezi. Ezek szerint a háromszögben súlyvonal.
1. ábra A háromszögben az súlyvonalon kívül két oldalt is ismerünk, mert és . Ezekből az adatokból a háromszög egyszerűen megszerkeszthető:
2. ábra Vegyük fel az szakaszt, jelöljük ki ennek felezőpontját, majd szerkesszük meg a középpontú, sugarú és az középpontú, sugarú körök metszéspontját (2. ábra). Tükrözzük végül -t -re, a tükörkép legyen . Az így szerkesztett háromszögben nyilván súlyvonal, , továbbá éppen -re vonatkozó tükörképe, tehát . Az és pontok ismeretében -t az középpontú, sugarú és a középpontú, sugarú körök metszéspontjaként kapjuk. -t -re tükrözve kapjuk -t, végül -t , -t pedig felezőpontjára tükrözve kapjuk a négyszög és csúcsait. Szerkesztésünkből következik, hogy az négyszög megfelel a feltételeknek, mert , , , egyenlő -vel, hosszuk egyenként , tehát és oldalfelezőpontok és . Feltételként szerepelt, hogy a feladatnak van megoldása, azért . Ha , akkor a háromszög, s így az négyszög is lényegében egyértelműen szerkeszthető meg. Ha , akkor esetén ugyancsak egyértelmű a szerkesztés (bár a háromszög elfajuló), ha viszont , akkor végtelen sok megoldás van, ekkor ugyanis az négyszög paralelogramma (3. ábra).
3. ábra
Kovács Levente (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján |
|