Kezdőlap


Feladat:	C.663	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/október, 408 - 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Háromszög nevezetes körei, Körülírt kör, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: C.663

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög meglévő csúcsait $A$ , $B$ -vel, a hiányzó harmadik csúcs legyen $C$ . A háromszög köré írt kör $O$ középpontja rajta van az $A B$ oldal $f$ felező merőlegesén. Szerkesszük meg az $f$ egyenest, messe ez az $A B$ oldalt az $F$ pontban. Az $F$ ponton át az $A C$ -vel párhuzamos egyenes (irányát ismerjük) a $B C$ egyenest az $E$ pontban metszi (1. ábra). A metszéspont rajta lesz a papíron, hacsak nem téptünk le túl nagy darabot. (A szöveg szerint csak a háromszög csúcsa szakadt le.)

1. ábra

F E

a háromszög egyik középvonala, azaz

E

felezi a

B C

oldalt. Ha tehát

E

-ben merőlegest állítunk

B E

-re, ez kimetszi

f

-ből a körülírt kör

O

középpontját, és

O B = r

a keresett kör sugara.
Most mutatunk egy másik eljárást, amellyel akkor is meg tudjuk szerkeszteni a háromszög köré írt kör sugarát, ha a körülírt kör középpontja nincs a papírlapon.
Az

A B

oldal felezőpontjától jobbra és balra mérjük fel az ,,elég kicsi''

F A' = F B'

szakaszokat. Az

A'

ponton át az

A C

-vel párhuzamos egyenes és a

B'

ponton át a

B C

-vel párhuzamos egyenes metszéspontja

C'

(2. ábra). Az

A' B' C'

háromszög hasonló az

A B C

háromszöghöz, körülírt körének középpontját és sugarát meg tudjuk szerkeszteni. Ezek ismeretében a következőképpen szerkeszthető meg a keresett sugár:

2. ábra

Egy

P

csúcsú szög egyik szárára mérjük fel a

P Q_{1} = F B'

és a

P Q_{2} = F B

távolságokat, a másik szárra pedig a

P R_{1} = O' B'

távolságot. A

Q_{2}

-n át húzzunk párhuzamost

Q_{1} R_{1}

-gyel, messe ez a

P R_{1}

félegyenest az

R_{2}

pontban (3. ábra).

3. ábra

A párhuzamos szelők tételéből következik, hogy

P R_{2} = P R_{1} \cdot \frac{P Q_{2}}{P Q_{1}}

. A jobb oldal értéke a 3. ábra pontjainak fölvétele miatt

O' B' \cdot \frac{F B}{F B'}

, ami a 2. ábrán látható módon ugyancsak a párhuzamos szelők tétele szerint

O B = r

.
A szerkesztést a papíron is elvégezhetjük. Az egyik szögszár legyen az

A B

szakasz, a másik szögszár

A

-ból induljon és az

A B

-vel bezárt szöge legyen elegendően kicsi. Ismeretes, hogy az

r

sugarú körbe írt háromszög legnagyobb szögével szemben fekvő oldal hossza legalább

r \sqrt[]{3}

, ezért

r

valóban ráfér az

A B

szakaszra.