Kezdőlap


Feladat:	C.657	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Egyenes körhengerek, Terület, felszín, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: C.657

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp alapkörének a sugara $r_{1}$ , a henger alapkörének a sugara $r_{2}$ , közös magasságuk $m$ , térfogatuk $V$ , a kúp alkotója pedig $a$ . Ekkor

\begin{matrix} V_{kúp} = \frac{r_{1}^{2} π m}{3}, V_{henger} = r_{2}^{2} π m . \end{matrix}

A térfogatok egyenlőségéből kapjuk, hogy

r_{1} = \sqrt[]{3} r_{2}

A kúp palástjának a felszíne

r_{1} π a

, a hengerpalásté pedig

2 r_{2} π m

. A palástok felszínének egyenlőségéből és a sugarak arányából következik, hogy

\frac{m}{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

.
A kúp tengelyén átmenő sík egyenlőszárú háromszöget metsz ki a kúpból. Jelöljük az alapon fekvő szögét

α

-val. Ekkor

sin α = \frac{m}{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

, innen pedig

α = 60^{\circ}

(

α

hegyesszög). A síkmetszet tehát szabályos háromszög és így a kúp nyílásszöge is

60^{\circ}